Формула характера Вейля

В математике формула характера Вейля в теории представлений описывает характеры неприводимых представлений компактных групп Ли в терминах их старших весов . ^[1] Это было доказано Германом Вейлем ( 1925 , 1926a , 1926b ). Существует тесно связанная формула для характера неприводимого представления полупростой алгебры Ли. ^[2] В подходе Вейля к теории представлений связных компактных групп Ли, доказательство формулы характера является ключевым шагом в доказательстве того, что каждый доминирующий целочисленный элемент действительно возникает как старший вес некоторого неприводимого представления. ^[3] Важными следствиями формулы характера являются формула размерности Вейля и формула кратности Костанта .

По определению, характер представления G есть след , как функция группового элемента . Все неприводимые представления в этом случае конечномерны (это часть теоремы Питера – Вейля ); поэтому понятие следа является обычным из линейной алгебры. Знание характера дает много информации о себе . ${\ Displaystyle \ чи}$ ${\ Displaystyle \ пи}$ ${\ Displaystyle \ пи (г)}$ ${\ Displaystyle г \ в G}$ ${\ Displaystyle \ чи}$ ${\ Displaystyle \ пи}$ ${\ Displaystyle \ пи}$

Формула Вейля является замкнутой формулой для характера в терминах других объектов, построенных из G и ее алгебры Ли . ${\ Displaystyle \ чи}$

Формула характера может быть выражена в терминах представлений комплексных полупростых алгебр Ли или в терминах (существенно эквивалентной) теории представлений компактных групп Ли.

Позвольте быть неприводимым, конечномерным представлением комплексной полупростой алгебры Ли . Предположим , является подалгеброй Картана в . Тогда характером является функция , определяемая формулой ${\ Displaystyle \ пи}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {ч}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {г}}}$ ${\ Displaystyle \ пи}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi}: {\ mathfrak {h}} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

Значение символа at является размерностью . По элементарным соображениям характер можно вычислить как ${\ Displaystyle Н = 0}$ ${\ Displaystyle \ пи}$