т-структура

В отрасли математики называют гомологической алгебры , т -структуре способ Аксиоматизируем свойства абелевой подкатегории из в производной категории . Т -структура на состоит из двух подкатегорий одного триангулированной категории или стабильной бесконечности категории , которые абстрагировать идея комплексов, когомология исчезают в Positive, соответственно, отрицательном градусов. В одной и той же категории может быть много различных t- структур, и взаимодействие между этими структурами имеет значение для алгебры и геометрии. Понятие т${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ leq 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0})}$-структура возникла в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по извращенным пучкам . ^[1]

Определение [ править ]

Зафиксируйте триангулированную категорию с помощью функтора трансляции . Т -структура на это пара полных подкатегорий, каждый из которых является стабильным при изоморфизме, которые удовлетворяют следующие три аксиом.${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle [1]}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ leq 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0})}$

1. Если X - объект, а Y - объект , то${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.}$
2. Если X является объектом , то X [1] также является объектом . Точно так же, если Y является объектом , то Y [-1] также является объектом .${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$
3. Если A является объектом , то существует выделенный треугольник такой, что X является объектом, а Y является объектом .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

Можно показать, что подкатегории и закрыты относительно расширений в . В частности, они устойчивы относительно конечных прямых сумм.${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Предположим, что это t -структура на . В этом случае для любого целого числа n мы определяем полную подкатегорию , объекты которой имеют форму , где - объект . Точно так же полная подкатегория объектов , где находится объект . Более кратко определим${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X[-n]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle Y[-n]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}}$

В этих обозначениях приведенные выше аксиомы можно переписать так:

1. Если X - объект, а Y - объект , то${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}}$и .${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$
3. Если A является объектом , то существует выделенный треугольник такой, что X является объектом, а Y является объектом .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

Сердце или ядро из т -структурой является полная подкатегория , состоящая из объектов как и , то есть,${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.}$

Сердцем t-структуры является абелева категория (тогда как триангулированная категория является аддитивной, но почти никогда не абелевой), и она устойчива относительно расширений.

Триангулированная категория с выбором t-структуры иногда называется t- категорией .

Варианты [ править ]

Ясно, что для определения t-структуры достаточно зафиксировать целые числа m и n и указать и . Некоторые авторы определяют t-структуру как пару .${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq m}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$

Две подкатегории и определяют друг друга. Объект X находится в том и только в том случае, если для всех объектов Y в , и наоборот. То есть являются левыми и правыми ортогональными дополнениями друг друга. Следовательно, достаточно указать только одно из и . Более того, поскольку эти подкатегории полные по определению, достаточно указать их объекты.${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

Приведенные выше обозначения адаптированы для изучения когомологий. Когда целью является изучение гомологии, используются несколько иные обозначения. Гомологической т -структуре на это пара таким образом, что, если мы определим${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0})}$

${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})=({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0}),}$

то является (когомологической) t -структурой на . То есть определение такое же, за исключением того, что верхние индексы преобразуются в нижние индексы, а роли и меняются местами. Если мы определим${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \leq }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq n}&={\mathcal {D}}_{\geq 0}[n],\\{\mathcal {D}}_{\leq n}&={\mathcal {D}}_{\leq 0}[n],\end{aligned}}}$

то аксиомы гомологической t-структуры можно явно записать как

1. Если X - объект, а Y - объект , то${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$и .${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$
3. Если A является объектом , то существует выделенный треугольник такой, что X является объектом, а Y является объектом .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$

Примеры [ править ]

Естественным т -структуре [ править ]

Наиболее фундаментальный пример т -структуры является естественным т -структуры на производной категории. Позвольте быть абелевой категорией, и пусть быть ее производной категорией. Тогда естественная t-структура определяется парой подкатегорий${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}}$

Отсюда сразу следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}}$

В этом случае третью аксиому для t- структуры - существование некоторого выделенного треугольника - можно сделать явным следующим образом. Предположим, что это коцепной комплекс со значениями в . Определять${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Понятно, что существует короткая точная последовательность комплексов${\displaystyle \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }}$

${\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}$

Эта точная последовательность дает требуемый выделенный треугольник.

Этот пример можно обобщить на точные категории (в смысле Квиллена). ^[2] Существуют также аналогичные t-структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий. Если -абелева подкатегория , то полная подкатегория в состоящих из комплексов , чьи когомология в имеет аналогичный т -структуру чье сердце . ^[3]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D_{\mathcal {C}}({\mathcal {A}})}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Извращенные снопы [ править ]

Категория извращенных пучков по определению является ядром так называемой извращенной t-структуры на производной категории категории пучков на комплексном аналитическом пространстве X или (при работе с l-адическими пучками) алгебраическим многообразием над пространством. конечное поле. Как было объяснено выше, ядро ​​стандартной t-структуры просто содержит обычные пучки, рассматриваемые как комплексы, сосредоточенные в степени 0. Например, категория извращенных пучков на (возможно, особой) алгебраической кривой X (или, аналогично, возможно, особой поверхности ) спроектирован таким образом, что содержит, в частности, объекты вида

${\displaystyle i_{*}F_{Z},j_{*}F_{U}[1]}$

где является включение в точку, представляет собой обычный пучок, гладкая открытая подсхема и является локально постоянный пучок на U . Обратите внимание на наличие сдвига согласно размерам Z и U соответственно. Этот сдвиг приводит к тому, что категория извращенных пучков хорошо себя ведет в особых пространствах. Простыми объектами в этой категории являются пучки когомологий пересечения подмногообразий с коэффициентами в неприводимой локальной системе. Эта t-структура была введена Бейлинсоном, Бернштейном и Делинем. ^[4] Бейлинсон показал, что производная категория сердца${\displaystyle i:Z\to X}$${\displaystyle F_{Z}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F_{U}}$${\displaystyle D^{b}(Perv(X))}$фактически эквивалентна исходной производной категории пучков. Это пример общего факта, что триангулированная категория может быть наделена несколькими различными t-структурами. ^[5]

Оцененные модули [ править ]

Нестандартный пример t-структуры на производной категории (градуированных) модулей над градуированным кольцом обладает тем свойством, что его сердце состоит из комплексов

${\displaystyle \dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots }$

где - модуль, порожденный своей (градуированной) степенью n . Эта t-структура, называемая геометрической t-структурой, играет важную роль в двойственности Кошуля . ^[6]${\displaystyle P^{n}}$

Спектры [ править ]

Категория спектров наделена t-структурой, порожденной в указанном выше смысле одним объектом, а именно сферным спектром . Категория - это категория связных спектров, т. Е. Тех, чьи отрицательные гомотопические группы обращаются в нуль. (В областях, связанных с теорией гомотопии, обычно используются гомологические соглашения, в отличие от когомологических, поэтому в этом случае принято заменять " " на " ". Используя это соглашение, категория связных спектров обозначается обозначением .)${\displaystyle Sp^{\leq 0}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle Sp^{\geq 0}}$

Мотивы [ править ]

Предположительный пример в теории мотивов - так называемая мотивационная t-структура . Его (предположительное) существование тесно связано с некоторыми стандартными гипотезами об алгебраических циклах и гипотезами об исчезновении, такими как гипотеза Бейлинсона-Суле . ^[7]

Функторы усечения [ править ]

В приведенном выше примере естественной t-структуры на абелевой категории выделенный треугольник, гарантированный третьей аксиомой, был построен путем усечения. Как операции над категорией комплексов, усечения и являются функториальными, и результирующая короткая точная последовательность комплексов естественна в . Используя это, можно показать, что на производной категории есть функторы усечения и что они индуцируют естественный выделенный треугольник.${\displaystyle \tau _{\leq 0}A^{\bullet }}$${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }}$${\displaystyle A^{\bullet }}$

По сути, это пример общего явления. Хотя аксиомы t-структуры не предполагают существования функторов усечения, такие функторы всегда могут быть построены и по сути уникальны. Предположим , что это триангулированная категория и является т -структуре. Точное утверждение состоит в том, что функторы включения${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

допускаю соплеменников . Это функторы

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n}\end{aligned}}}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Кроме того, для любого объекта из , существует единственный${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)}$

такие, что d и счетчик и единица присоединений вместе определяют выделенный треугольник

${\displaystyle \tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].}$

С точностью до однозначного изоморфизма это единственный выделенный треугольник формы с и объектами и соответственно. Из существования этого треугольника следует, что объект лежит в (соответственно ) тогда и только тогда, когда (соответственно ).${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle \tau ^{\geq n+1}(A)=0}$${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$

Существование подразумевает существование других функторов усечения путем сдвига и выбора противоположных категорий. Если - объект , третья аксиома для t -структуры утверждает существование in и морфизма, вписывающегося в некоторый выделенный треугольник. Для каждого зафиксируйте один такой треугольник и определите . Аксиомы для т -структуре означает , что для любого объекта из , мы имеем${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle X\to A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}$

причем изоморфизм индуцируется морфизмом . Это проявляется как решение определенной универсальной проблемы отображения. Стандартные результаты о сопряженных функторах теперь подразумевают, что они уникальны с точностью до единственного изоморфизма и что существует единственный способ определения на морфизмах, который делает его сопряженным справа. Это доказывает существование и, следовательно, существование всех функторов усечения.${\displaystyle X\to A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$

Повторное усечение для t-структуры ведет себя аналогично повторному усечению для комплексов. Если , то есть естественные преобразования${\displaystyle n\leq m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}}$

которые дают естественные эквивалентности

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Функторы когомологий [ править ]

П - й когомологического функтор определяется как${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].}$

Как следует из названия, это когомологический функтор в обычном смысле для триангулированной категории. То есть для любого выделенного треугольника мы получаем длинную точную последовательность${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .}$

В приложениях к алгебраической топологии вместо . Функторы когомологий принимают значения в самом сердце . Согласно одному из повторных тождеств усечения, приведенных выше, с точностью до естественной эквивалентности это эквивалентно определению${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].}$

Для естественной t-структуры на производной категории функтор когомологий с точностью до квазиизоморфизма является обычной n- й группой когомологий комплекса. Однако, рассматриваемое как функторы на комплексах, это не так. Рассмотрим, например, как определено в терминах естественной t-структуры . По определению это${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle H^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(A^{\bullet })&=\tau ^{\leq 0}(\tau ^{\geq 0}(A^{\bullet }))\\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to \cdots )\\&=(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Этот комплекс не равен нулю по степеням и , следовательно, он явно не то же самое, что и нулевая группа когомологий комплекса . Однако нетривиальный дифференциал - это инъекция, поэтому единственные нетривиальные когомологии находятся в степени , где она есть , нулевая группа когомологий комплекса . Отсюда следует, что два возможных определения являются квазиизоморфными.${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}}$${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle H^{0}(A^{\bullet })}$

Т -структура является невырожденной , если пересечение всех , а также пересечение всех , состоит только из нулевых объектов. Для невырожденной t- структуры набор функторов консервативен. Более того, в этом случае (соответственно ) можно отождествить с полной подкатегорией тех объектов, для которых для (соответственно ).${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle \{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H^{i}(A)=0}$${\displaystyle i>n}$${\displaystyle i<n}$

Точные функторы [ править ]

Действительно , пусть - триангулированная категория с фиксированной t -структурой. Предположим, что это точный функтор (в обычном для триангулированных категорий смысле, т. Е. С точностью до естественной эквивалентности он коммутирует со сдвигом и сохраняет выделенные треугольники). Тогда это:${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{i}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{i}^{\geq 0})}$${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}_{1}\to {\mathcal {D}}_{2}}$${\displaystyle F}$

• Левый t -точно, если ,${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$
• Право t -точно, если , и${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$
• t -точно, если оно одновременно левое и правое. t -точно.

Это элементарно , чтобы увидеть , что если полностью верен и т -точные, то объект из в (соотв. ) , Тогда и только тогда , когда в (соотв. ). Также элементарно видеть, что если есть еще один левый (соответственно правый) t- точный функтор, то композиция также является левой (соответственно правой) t -точной.${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0}}$${\displaystyle FA}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{2}\to {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle G\circ F}$

Мотивация к изучению свойств односторонней t- точности заключается в том, что они приводят к свойствам односторонней точности на сердцах. Позвольте быть включением. Тогда существует составной функтор${\displaystyle \iota _{i}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{i}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{i}}$

${\displaystyle {}^{p}F=H^{0}\circ F\circ \iota _{1}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }.}$

Можно показать, что если он точен слева (соответственно справа), то также точен слева (соответственно справа), и что если он также точен слева (соответственно справа), то .${\displaystyle F}$${\displaystyle {}^{p}F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {}^{p}(G\circ F)=({}^{p}G)\circ F}$

Если левый (соответственно правый) t -точный и если принадлежит (соответственно ), то существует естественный изоморфизм (соответственно ).${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {}^{p}F(H^{0}A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ H^{0}F(A)}$${\displaystyle H^{0}F(A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ {}^{p}F(H^{0}A)}$

Если являются точными функторами с сопряженными слева к , то является t -точным справа тогда и только тогда, когда является t -точным слева, и в этом случае являются парой сопряженных функторов .${\displaystyle (T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {D}}_{1}\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle ({}^{p}T^{*},{}^{p}T_{*})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }}$

Конструкции т -структурами [ править ]

Позвольте быть t -структурой на . Если n - целое число, то перевод на n t -структуру равен . Двойной т -структура является т -структурой на категории противоположной определенной .${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq n},{\mathcal {D}}^{\geq n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}}$${\displaystyle (({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}})}$

Позвольте быть триангулированной подкатегории триангулированной категории . Если - t -структура на , то${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})=({\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

является t -структурой на тогда и только тогда, когда она устойчива относительно функтора усечения . Когда это условие выполнено, то т -структура называется индуцированным т -структурой . Функторы усечения и когомологий для индуцированной t -структуры являются ограничением для тех, которые включены . Следовательно, включение in является t -точным, и .${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}')^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\heartsuit }\cap {\mathcal {D}}'}$

Чтобы построить категорию извращенных пучков, важно уметь определять t-структуру в категории пучков над пространством, работая локально в этом пространстве. Точные условия, необходимые для того, чтобы это стало возможным, можно несколько абстрагировать до следующей установки. Предположим, что есть три триангулированные категории и два морфизма

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}\ {\stackrel {i_{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}\ {\stackrel {j^{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{U}}$

удовлетворяющие следующим свойствам.

• Есть две последовательности троек сопряженных функторов и .${\displaystyle (j_{!},j^{*},j_{*})}$${\displaystyle (i^{*},i_{*},i^{!})}$
• Функторы , и полны и верны, и они удовлетворяют .${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle j_{!}}$${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle j^{*}i_{*}=0}$
• Существуют уникальные дифференциалы, делающие для каждого K в точных треугольниках.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{!}j^{*}K&\to K\to i_{*}i^{*}K\to j_{!}j^{*}K[1],\\i_{*}i^{!}K&\to K\to j_{*}j^{*}K\to i_{*}i^{!}K[1].\end{aligned}}}$

В этом случае для заданных t -структур и на и , соответственно, существует t -структура на, определяемая формулой${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0}\},\\{\mathcal {D}}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0},\ i^{!}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{aligned}}}$

Это т -структура говорят, склейка из т -структурами на U и F . Предполагаемые случаи использования являются когда , и ограничены снизу производных категорий пучков на пространстве X , открытое подмножество U и замкнутое дополнение F из U . Функторы и являются обычными функторами возврата и продвижения вперед. Это работает, в частности, когда рассматриваемые пучки являются левыми модулями над пучком колец на X и когда пучки являются ℓ-адическими пучками.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Многие т-структуры возникают при помощи следующий факт: в триангулированной категории с произвольными прямыми суммами , а также набор из компактных объектов в , подкатегориях${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\geq 1}&=\{X\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (S_{0}[-n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{aligned}}}$

можно показать как t-структуру. ^[8] Результирующая t-структура называется порожденной${\displaystyle S_{0}}$ .

Для данной абелевой подкатегории триангулированной категории можно построить подкатегорию и t -структуру на той подкатегории, сердце которой . ^[9]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

О стабильных ∞-категориях [ править ]

Элементарная теория t-структур переносится на случай ∞-категорий с небольшими изменениями. Пусть - стабильная ∞-категория. Т -структура на определен , чтобы быть т -структурой на своей гомотопической категории (которая является триангулированной категорией). Т -структура на ∞-категории можно нотирована либо гомологи или когомологический, так же , как и в случае триангулированной категории.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$

Предположим , что является ∞-категория с гомотопической категории и что является т -структуре на . Затем для каждого целого числа n мы определяем и как полные подкатегории, охватываемые объектами в и , соответственно. Определять${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq 0},\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq 0})}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq n}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\leq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

быть функторами включения. Как и в случае триангулированной категории, они допускают правый и левый сопряженные, соответственно, функторы усечения

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{aligned}}}$

Эти функторы удовлетворяют тем же тождествам повторного усечения, что и в случае триангулированной категории.

Сердце из т -структурой на это определяется как ∞-подкатегорию . Категория эквивалентна нерву своей гомотопической категории . Функтор когомологий определяется как или что то же самое .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle \tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]}$${\displaystyle \tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]}$

Существование средств, которые по определению являются функтором локализации. Фактически, существует взаимно однозначное соответствие между t -структурами на и определенными видами функторов локализации, называемыми t -локализациями . Эти локализации функторы L , чья существенным образом закрыт при расширении, а это означает , что если последовательность волокна с X и Z в существенном образе L , то Y также в существенном образе L . Для такого функтора локализации L соответствующая t -структура определяется формулой${\displaystyle \tau _{\leq n}}$${\displaystyle \iota _{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to Y\to Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq 0}&=\{A\colon LA\simeq 0\},\\{\mathcal {D}}_{\leq -1}&=\{A\colon LA\simeq A\}.\end{aligned}}}$

Функторы t -локализации также можно охарактеризовать в терминах морфизмов f, для которых Lf является эквивалентностью. Множество морфизмов S в ∞-категории является квазонасыщенным, если оно содержит все эквивалентности, если любой 2-симплекс in с двумя невырожденными ребрами в S имеет свое третье невырожденное ребро в S и если он устойчив относительно отжимания. Если - функтор локализации, то множество S всех морфизмов f, для которых Lf является эквивалентностью, квазонасыщено. Тогда L является t -локализационным функтором тогда и только тогда, когда${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$S - наименьшее квазинасыщенное множество морфизмов, содержащее все морфизмы . ^[10]${\displaystyle \{0\to X\colon LX\simeq 0\}}$

Производная категория абелевой категории имеет несколько подкатегорий, соответствующих различным условиям ограниченности. Т -структура на стабильную ∞-категории , может быть использована для построения подобных подкатегорий. Конкретно,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{+}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {C}}_{\leq n},\\{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {C}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}}_{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{aligned}}}$

Это стабильные подкатегории . Говорят, что оно ограничено слева (относительно данной t -структуры), если , ограничено справа, если , и ограничено, если .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{b}}$

Также возможно сформировать левое или правое пополнение относительно t-структуры . Это аналогично формальному примыканию к направленным пределам или направленным копределам. Левое завершение на это предел Гомотопического диаграммы${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {D}}_{\leq 2}\ {\stackrel {\tau _{\leq 1}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 1}\ {\stackrel {\tau _{\leq 0}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 0}\ {\stackrel {\tau _{\leq -1}}{\to }}\ \cdots .}$

Правильное завершение определяется двойственно. Левое и правое пополнения сами по себе являются стабильными ∞-категориями, наследующими каноническую t-структуру . Существует каноническое отображение из в любое из его пополнений, и это отображение является t- точным. Мы говорим , что это осталось полным или правом полного , если каноническое отображение в левом или правое завершение, соответственно, является эквивалентностью.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Понятия, связанные с данным [ править ]

Если требование , заменяется противоположным включением${\displaystyle D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}}$${\displaystyle D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0};}$

${\displaystyle D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0},}$

и две другие аксиомы остались прежними, полученное понятие называется co-t-структурой или структурой весов . ^[11]

Ссылки [ править ]