В геометрии число Хиша формы - это максимальное количество слоев копий одной и той же формы, которые могут окружать ее. Проблема Хиша - это проблема определения набора чисел, которые могут быть числами Хиша. Оба имени для геометра Heinrich Heesch , [1] , который нашел плитку с Heesch номером 1 (объединение квадрата, равностороннего треугольника и 30-60-90 прямоугольного треугольника) [2] и предложенной более общей проблемы. [3]
Например, квадрат может быть окружен бесконечным количеством слоев конгруэнтных квадратов в квадратной мозаике , в то время как круг не может быть окружен даже одним слоем конгруэнтных кругов, не оставляя некоторых промежутков. Число Хиша квадрата бесконечно, а число Хиша круга равно нулю. В более сложных примерах, таких как показанный на иллюстрации, многоугольная плитка может быть окружена несколькими слоями, но не бесконечным множеством; максимальное количество слоев - это число Хиша плитки.
Формальные определения
Тесселяции плоскости является разбиение плоскости на более мелкие области , называемые плитки . Нулевая корона тайла определяется как сама тайл, а для k > 0 k- я корона - это набор тайлов, разделяющих граничную точку с ( k - 1) -й короной. Номер Heesch фигуры S является максимальным значением K таким образом, что существует разбиение плоскости и плитки т в пределах этой плитки, для которой , что все плитки в нулевом через к - й корон т конгруэнтны S . В некоторых работах по этой проблеме это определение модифицируется, чтобы дополнительно требовать, чтобы объединение нулевой и k- й корон t было односвязной областью. [5]
Если нет верхней границы количества слоев, которыми может быть окружена плитка, ее число Хиша называется бесконечным. В этом случае аргумент, основанный на лемме Кёнига, может использоваться, чтобы показать, что существует мозаика всей плоскости конгруэнтными копиями плитки. [6]
Пример
Рассмотрим невыпуклый многоугольник P, показанный на рисунке справа, который образован из правильного шестиугольника путем добавления выступов на двух его сторонах и совмещения углублений с трех сторон. На рисунке показана мозаика, состоящая из 61 копии P , одной большой бесконечной области и четырех маленьких ромбовидных многоугольников в четвертом слое. Короны центрального многоугольника с первой по четвертую полностью состоят из конгруэнтных копий P , поэтому его число Хиша не меньше четырех. Нельзя переставлять копии многоугольника на этом рисунке, чтобы избежать создания маленьких ромбовидных многоугольников, потому что 61 копия P имеет слишком много углублений по сравнению с количеством выступов, которые могли бы их заполнить. Формализуя этот аргумент, можно доказать, что число Хиша для P равно четырем. Согласно модифицированному определению, которое требует, чтобы короны были односвязными, число Хиша равно трем. Этот пример открыл Роберт Амманн . [5]
Известные результаты
Неизвестно, могут ли все положительные целые числа быть числами Хиша. Первые примеры многоугольников с числом Хиша 2 были предоставлены Фонтейном (1991) , который показал, что бесконечно много полимино обладают этим свойством. [5] [7] Кейси Манн построил семейство плиток, каждая из которых имеет число Хиша 5. Плитки Манна имеют число Хиша 5 даже с ограниченным определением, в котором каждая корона должна быть односвязной. [5] В 2020 году Боян Башич нашел фигуру с числом Хиша 6, наивысшим конечным числом до настоящего времени. [4]
Для соответствующей задачи в гиперболической плоскости число Хиша может быть сколь угодно большим. [8]
Рекомендации
- ^ Heesch (1968) , цитируется Grünbaum & Shephard (1987) и Fontaine (1991) .
- ^ Датч, Стивен. «Плитка Хиш: интересный не плиточник» . Естественные и прикладные науки, Университет Висконсина – Грин-Бей . Архивировано из оригинала на 2017-08-25 . Проверено 22 декабря 2008 .
- ↑ Grünbaum & Shephard (1987 , стр. 155–156, проблема Хиша)
- ^ а б Башич, Боян (2021 г.). «Фигура с числом Хиша 6: раздвигая границы двух десятилетий назад» . Математический интеллигент . DOI : 10.1007 / s00283-020-10034-ш . ISSN 0343-6993 .
- ^ а б в г д Манн, Кейси (2004). «Проблема мозаики Хиша» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (6): 509–517. DOI : 10.2307 / 4145069 . JSTOR 4145069 . Руководство по ремонту 2076583 ..
- ↑ Грюнбаум и Шепард (1987 , с. 151, 3.8.1 Теорема о расширении)
- ^ Фонтейн, Энн (1991). «Бесконечное количество плоских фигур с числом Хиша два» . Журнал комбинаторной теории . Series A. 57 (1): 151–156. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (91) 90013-7 ..
- ^ Тарасов, А. С. (2010).О том числе Хееша для плоскости Лобачевского[О числе Хиша для гиперболической плоскости]. Математические заметки . 88 (1): 97–104. DOI : 10,4213 / mzm5251 . Руководство по ремонту 2882166 .. Английский перевод по математике. Примечания 88 (1-2): 97-102, 2010, DOI : 10.1134 / S0001434610070096 .
Источники
- Хиш, Х. (1968). Reguläres Parkettierungsproblem . Кельн и Опладен: Westdeutscher Verlag.
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman.
дальнейшее чтение
- Эпштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: проблема Хиша» . Проверено 31 августа 2009 .
- Фридман, Эрих. «Плитки Heesch с номерами окружения 3 и 4» . Проверено 5 сентября 2006 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Число Хиша» . MathWorld .
- Numberphile видео о Heesch Numbers .