В математике , то неравенство Эрмита-Адамара , названный в честь Чарльза Эрмита и Жака Адамара , а иногда также называется неравенство Адамара , утверждает , что если функция ƒ: [ , Ь ] → R является выпуклой , то следующая цепочка неравенств:
Неравенство было обобщено на более высокие измерения: если - ограниченная выпуклая область и - положительная выпуклая функция, то
где - константа, зависящая только от размерности.
Следствие об интегралах типа Вандермонда
Предположим, что −∞ < a < b <∞ , и выберем n различных значений { x j }п
j = 1из ( а , б ) . Пусть f : [ a , b ] → ℝ выпукло, и пусть I обозначает «интеграл, начинающийся с » ; это,
- .
потом
Равенство выполняется для всех { x j }п
j = 1тогда и только тогда, когда f линейно, и для всех f тогда и только тогда, когда { x j }п
j = 1 постоянна в том смысле, что
Результат следует из индукции по n .
Рекомендации
- Жак Адамар , «Этюд о правах собственности на все сущее и частное лицо, считающееся с Риманом », Журнал де Математические чистые и аппликационные , том 58, 1893, страницы 171–215.
- Золтан Реткес, «Расширение неравенства Эрмита – Адамара », Acta Sci. Математика. (Сегед) , 74 (2008), страницы 95–106.
- Михай Бессеньей, « Неравенство Эрмита – Адамара на симплексах », American Mathematical Monthly , том 115, апрель 2008 г., страницы 339–345.
- Флавия-Корина Митрой, Элеферий Симеонидис, "Обратное неравенство Эрмита-Адамара на симплексах", Expo. Математика. 30 (2012), стр. 389–396. DOI : 10.1016 / j.exmath.2012.08.011 ; ISSN 0723-0869
- Стефан Штайнербергер, Неравенство Эрмита-Адамара в высших измерениях, Журнал геометрического анализа, 2019.