Модель Хестона

В финансов, модель Хестон , названный в честь Стивена Хестон , это математическая модель , описывающая эволюцию волатильности в качестве базового актива. ^[1] Это модель стохастической волатильности : такая модель предполагает, что волатильность актива не является постоянной и даже не детерминированной, а следует случайному процессу .

Базовая модель Хестона [ править ]

Базовая модель Хестона предполагает, что S _t , цена актива, определяется стохастическим процессом: ^[2]

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + {\ sqrt {\ nu _ {t}}} S_ {t} \, dW_ {t} ^ {S} \,}

где мгновенная дисперсия - это процесс CIR : ${\ displaystyle \ nu _ {t}}$

{\ displaystyle d \ nu _ {t} = \ kappa (\ theta - \ nu _ {t}) \, dt + \ xi {\ sqrt {\ nu _ {t}}} \, dW_ {t} ^ {\ nu} \,}

и являются винеровскими процессами (т. е. непрерывными случайными блужданиями) с корреляцией ρ или, что то же самое, с ковариацией ρ dt. ${\ Displaystyle W_ {t} ^ {S}, W_ {t} ^ {\ nu}}$

Параметры в приведенных выше уравнениях представляют следующее:

${\ displaystyle \ mu}$ - норма доходности актива.
${\ displaystyle \ theta}$ - долгосрочная дисперсия или дисперсия долгосрочной средней цены; когда t стремится к бесконечности, ожидаемое значение ν _t стремится к θ.
${\ displaystyle \ kappa}$ - скорость, с которой ν _t возвращается в θ.
${\ Displaystyle \ xi}$ - волатильность волатильности, или «объем от объема», и определяет дисперсию ν _t .

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), то процесс строго положительный ^[3] ${\ displaystyle \ nu _ {t}}$

{\ Displaystyle 2 \ каппа \ тета> \ xi ^ {2} \ ,.}

Риск-нейтральная мера [ править ]

См. Полный текст статьи в разделе " Меры, не связанные с риском".

Фундаментальная концепция ценообразования деривативов - это мера без риска ; ^{[ необходима цитата ]} это объясняется более подробно в статье выше. Для наших целей достаточно отметить следующее:

Чтобы установить цену на производный финансовый инструмент, выплата которого зависит от одного или нескольких базовых активов, мы оцениваем ожидаемую стоимость его дисконтированной выплаты с учетом нейтрального риска.
Нейтральная к риску мера, также известная как эквивалентная мера мартингала, - это мера, которая эквивалентна реальной мере и не требует арбитража: согласно такой мере дисконтированная цена каждого из базовых активов является мартингейлом. . См. Теорему Гирсанова .
В рамках схем Блэка-Шоулза и Хестона (где фильтрации генерируются только из линейно независимого набора винеровских процессов) любую эквивалентную меру можно описать в очень широком смысле, добавив дрейф к каждому из винеровских процессов.
Выбирая определенные значения для описанных выше дрейфов, мы можем получить эквивалентную меру, которая удовлетворяет условию отсутствия арбитража.

Рассмотрим общую ситуацию, когда у нас есть базовые активы и линейно независимый набор винеровских процессов. Множество эквивалентных мер изоморфно R ^m , пространству возможных сносов. Считаем, что множество эквивалентных мартингальных мер изоморфно многообразию, вложенному в R ^m ; Сначала рассмотрим ситуацию, когда у нас нет активов и он изоморфен R ^m . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$

Теперь рассмотрим каждый из базовых активов как обеспечивающий ограничение на набор эквивалентных показателей, поскольку ожидаемый процесс дисконтирования должен быть равен константе (а именно, его начальному значению). Добавляя по одному активу за раз, мы можем рассматривать каждое дополнительное ограничение как уменьшение размера на одно измерение. Отсюда видно, что в описанной выше общей ситуации размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle mn}$

В модели Блэка-Шоулза у нас есть один актив и один винеровский процесс. Размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна нулю; следовательно, можно показать, что существует единственное значение для дрейфа и, следовательно, единственная нейтральная к риску мера, при которой дисконтированный актив будет мартингалом. ^[^{необходима цитата}^] ${\ displaystyle e ^ {- \ rho t} S_ {t}}$

В модели Хестона у нас по-прежнему есть один актив (волатильность не считается непосредственно наблюдаемой или торгуемой на рынке), но теперь у нас есть два винеровских процесса - первый в стохастическом дифференциальном уравнении (SDE) для актива и второй в SDE для стохастической волатильности. Здесь размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна единице; не существует единой безрисковой меры. ^{[ необходима цитата ]}

Это, конечно, проблематично; Хотя теоретически для определения цены производного инструмента можно использовать любую из безрисковых мер, вполне вероятно, что каждая из них будет давать разные цены. Теоретически, однако, только одна из этих безрисковых мер будет совместима с рыночными ценами на опционы, зависящие от волатильности (например, европейские колл-опционы или, точнее, вариационные свопы ). Следовательно, мы могли бы добавить актив, зависящий от волатильности; ^{[ цитата необходима ]} тем самым мы добавляем дополнительное ограничение и, таким образом, выбираем единую безрисковую меру, совместимую с рынком. Эта мера может быть использована для ценообразования.

Реализация [ править ]

Недавнее обсуждение реализации модели Хестона дано в статье Кала и Якеля. ^[4]

Информация о том, как использовать преобразование Фурье для определения значений параметров, приведена в статье Карра и Мадана. ^[5]

Расширение модели Хестона со стохастическими процентными ставками дается в статье Гржелака и Остерли. ^[6]

Вывод цен опционов в закрытой форме для модели Хестона, зависящей от времени, представлен в статье Gobet et al. ^[7]

Вывод цен опционов в закрытой форме для двойной модели Хестона представлен в статьях Кристоферсена.

^[8] и Готье.^[9]

Явное решение уравнения цены Хестона с точки зрения волатильности было разработано Курицыном ^[10], которое может быть объединено с известными слабыми решениями уравнения волатильности и теоремой Гирсанова для получения явных слабых решений модели Хестона. Такие решения полезны для эффективного моделирования.

Существует несколько известных параметризации поверхности летучести на основе модели Хестона (Schonbusher, SVI и gSVI).
Использование модели в контексте локальной стохастической волатильности описано в статье Ван Дер Вейста. ^[11]

Калибровка [ править ]

Калибровка модели Хестона часто формулируется как задача наименьших квадратов , при этом целевая функция сводит к минимуму разницу между ценами, наблюдаемыми на рынке, и ценами, рассчитанными по модели Хестона.

Цены обычно такие же, как и на ванильные варианты. Иногда модель также калибруется для временной структуры обмена дисперсией, как у Гийома и Схоутенса. ^[12] Еще один подход - включить параметры прямого старта или барьерные параметры, чтобы уловить улыбку вперед.

В рамках модели Хестона цена опционов ванили дается аналитически, но требует численного метода для вычисления интеграла. Ле Флок ^[13] суммирует различные применяемые квадратуры и предлагает эффективную адаптивную квадратуру Филона.

Проблема калибровки связана с градиентом целевой функции по параметрам Хестона. Аппроксимация градиента методом конечных разностей имеет тенденцию создавать искусственные числовые проблемы при калибровке. Намного лучше полагаться на методы автоматической дифференциации . Например, касательный режим алгоритмического дифференцирования может быть применен с использованием двойных чисел прямым способом. В качестве альтернативы Cui et al. ^[14] дают явные формулы для аналитического градиента. Последнее было получено путем введения эквивалентной, но поддающейся обработке формы характеристической функции Хестона.

См. Также [ править ]

Стохастическая волатильность
Риск-нейтральная мера (другое название эквивалентной меры мартингейла)
Теорема Гирсанова
Мартингейл (теория вероятностей)
Модель волатильности SABR
Код MATLAB для реализации Kahl, Jäckel и Lord

Ссылки [ править ]

^ Хестон, Стивен Л. (1993). «Закрытое решение для опционов со стохастической волатильностью с приложениями к облигациям и валютным опционам» . Обзор финансовых исследований . 6 (2): 327–343. DOI : 10.1093 / RFS / 6.2.327 . JSTOR 2962057 .
^ Уилмотт, П. (2006), Пол Уилмотт о количественных финансах (2-е изд.), Стр. 861
^ Альбрехер, H .; Mayer, P .; Schoutens, W .; Тистерт, Дж. (Январь 2007 г.), «Ловушка Маленького Хестона», журнал Wilmott : 83–92, CiteSeerX 10.1.1.170.9335
^ Kahl, C .; Jäckel, П. (2005). «Несложные логарифмы в модели Хестона» (PDF) . Журнал Wilmott : 74–103.
^ Карр, П .; Мадан, Д. (1999). «Оценка опционов с использованием быстрого преобразования Фурье» (PDF) . Журнал вычислительных финансов . 2 (4): 61–73. CiteSeerX 10.1.1.6.9994 . DOI : 10.21314 / JCF.1999.043 .
^ Grzelak, LA; Остерли, CW (2011). «О модели Хестона со стохастическими процентными ставками» . SIAM J. Финансовая математика . 2 : 255–286. DOI : 10.1137 / 090756119 .
^ Benhamou, E .; Gobet, E .; Мири, М. (2009). "Модель Хестона, зависящая от времени". CiteSeerX 10.1.1.657.6271 . DOI : 10.2139 / ssrn.1367955 . SSRN 1367955 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^ Christoffersen, P .; Heston, S .; Джейкобс, К. (2009). «Форма и временная структура ухмылки индексного опциона: почему многофакторные модели стохастической волатильности работают так хорошо». SSRN 1447362 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^ Gauthier, P .; Поссамай, Д. (2009), Эффективное моделирование модели двойного Хестона , SSRN 1434853
^ Kouritzin, М. (2018). «Явные решения Хестона и стохастическая аппроксимация для ценообразования опционов в зависимости от пути». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 21 (бумага 1850006): 1850006. arXiv : 1608.02028 . DOI : 10.1142 / S0219024918500061 .
^ Ван дер Weijst, Рул (2017). «Численные решения для стохастической модели локальной волатильности» . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
↑ Гийом, Флоренция (23 апреля 2013 г.). "Модель Хестона: Калибровка обмена отклонениями". ССРН . SSRN 2255550 .
^ Ле Флок, Фабьен (2018). «Адаптивная квадратура Филона для моделей стохастической волатильности». Журнал вычислительных финансов . 22 (3): 65–88. DOI : 10.21314 / JCF.2018.356 .
^ Йиран Цуй; Себастьян дель Баньо Роллин; Гвидо Германо (26 мая 2016 г.). «Полная и быстрая калибровка модели стохастической волатильности Хестона». arXiv : 1511.08718 [ q-fin.CP ].

Дамгани, Бабак Махдави; Кос, Эндрю (2013). «Деарбитраж со слабой улыбкой: применение для искажения риска». Уилмотт . 2013 (1): 40–49. DOI : 10.1002 / wilm.10201 .

[1] Хестон, Стивен Л. (1993). «Закрытое решение для опционов со стохастической волатильностью с приложениями к облигациям и валютным опционам» . Обзор финансовых исследований . 6 (2): 327–343. DOI : 10.1093 / RFS / 6.2.327 . JSTOR 2962057 .

[Wilm2006-2] Уилмотт, П. (2006), Пол Уилмотт о количественных финансах (2-е изд.), Стр. 861

[Albr2007-3] Альбрехер, H .; Mayer, P .; Schoutens, W .; Тистерт, Дж. (Январь 2007 г.), «Ловушка Маленького Хестона», журнал Wilmott : 83–92, CiteSeerX 10.1.1.170.9335

[Kahl2005-4] Kahl, C .; Jäckel, П. (2005). «Несложные логарифмы в модели Хестона» (PDF) . Журнал Wilmott : 74–103.

[Carr1999-5] Карр, П .; Мадан, Д. (1999). «Оценка опционов с использованием быстрого преобразования Фурье» (PDF) . Журнал вычислительных финансов . 2 (4): 61–73. CiteSeerX 10.1.1.6.9994 . DOI : 10.21314 / JCF.1999.043 .

[GO09-6] Grzelak, LA; Остерли, CW (2011). «О модели Хестона со стохастическими процентными ставками» . SIAM J. Финансовая математика . 2 : 255–286. DOI : 10.1137 / 090756119 .

[BGM1999-7] Benhamou, E .; Gobet, E .; Мири, М. (2009). "Модель Хестона, зависящая от времени". CiteSeerX 10.1.1.657.6271 . DOI : 10.2139 / ssrn.1367955 . SSRN 1367955 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[CHJ2009-8] Christoffersen, P .; Heston, S .; Джейкобс, К. (2009). «Форма и временная структура ухмылки индексного опциона: почему многофакторные модели стохастической волатильности работают так хорошо». SSRN 1447362 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[GP2009-9] Gauthier, P .; Поссамай, Д. (2009), Эффективное моделирование модели двойного Хестона , SSRN 1434853

[Kou2018-10] Kouritzin, М. (2018). «Явные решения Хестона и стохастическая аппроксимация для ценообразования опционов в зависимости от пути». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 21 (бумага 1850006): 1850006. arXiv : 1608.02028 . DOI : 10.1142 / S0219024918500061 .

[11] Ван дер Weijst, Рул (2017). «Численные решения для стохастической модели локальной волатильности» . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[12] Гийом, Флоренция (23 апреля 2013 г.). "Модель Хестона: Калибровка обмена отклонениями". ССРН . SSRN 2255550 .

[13] Ле Флок, Фабьен (2018). «Адаптивная квадратура Филона для моделей стохастической волатильности». Журнал вычислительных финансов . 22 (3): 65–88. DOI : 10.21314 / JCF.2018.356 .

[14] Йиран Цуй; Себастьян дель Баньо Роллин; Гвидо Германо (26 мая 2016 г.). «Полная и быстрая калибровка модели стохастической волатильности Хестона». arXiv : 1511.08718 [ q-fin.CP ].

[1]

vтеСтохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стиранием петли Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хокса Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Обе	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы ( Блюменталь , Борель – Кантелли , Энгельберт – Шмидт , Хьюитт – Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Карунен – Loève_theorem Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Скороход космос Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чип- дизайне Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория