Модель Кокса – Ингерсолла – Росса

Три траектории процессов CIR

В математических финансах модель Кокса – Ингерсолла – Росса (CIR) описывает эволюцию процентных ставок . Это разновидность «однофакторной модели» (модели краткосрочной ставки ), поскольку она описывает движения процентных ставок, обусловленные только одним источником рыночного риска . Модель может использоваться при оценке производных финансовых инструментов по процентным ставкам . Он был представлен в 1985 году Джоном К. Коксом , Джонатаном Э. Ингерсоллом и Стивеном А. Россом как расширение модели Васичека .

Модель [ править ]

Процесс CIR

Модель CIR определяет, что мгновенная процентная ставка следует стохастическому дифференциальному уравнению , также называемому процессом CIR:${\ displaystyle r_ {t}}$

${\ displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + \ sigma {\ sqrt {r_ {t}}} \, dW_ {t}}$

где представляет собой винеровский процесс (моделирование случайного фактора риска рынка) и , и являются параметры . Параметр соответствует скорости подстройки к среднему значению и к волатильности. Коэффициент сноса точно такой же, как в модели Васичека. Он обеспечивает средний возврат процентной ставки к долгосрочному значению , при этом скорость корректировки определяется строго положительным параметром .${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ sigma \,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ sigma \,}$${\ Displaystyle а (б-р_ {т})}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$

Стандартное отклонение фактор , исключает возможность отрицательных процентных ставок для всех положительных значений и . Нулевая процентная ставка также не допускается, если условие${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {r_ {t}}}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle 2ab \ geq \ sigma ^ {2} \,}$

встречается. В более общем смысле, когда коэффициент ( ) близок к нулю, стандартное отклонение ( ) также становится очень маленьким, что ослабляет влияние случайного толчка на коэффициент. Следовательно, когда ставка приближается к нулю, в ее эволюции доминирует фактор дрейфа, который подталкивает ставку вверх (к равновесию ).${\ displaystyle r_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {r_ {t}}}}$

Этот процесс можно определить как сумму квадратов процесса Орнштейна – Уленбека . CIR - это эргодический процесс, имеющий стационарное распределение. Тот же процесс используется в модели Хестона для моделирования стохастической волатильности.

Распространение [ править ]

• Будущее распространение

Распределение будущих значений процесса CIR может быть вычислено в закрытой форме:

${\ displaystyle r_ {t + T} = {\ frac {Y} {2c}},}$

где , и Y - нецентральное распределение хи-квадрат со степенями свободы и параметром нецентральности . Формально функция плотности вероятности:${\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}$

${\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-u-v}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}$

где , , , и является модифицированной функцией Бесселя первого рода порядка .${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1}$${\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}}$${\displaystyle v=cr_{t+T}}$${\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}$${\displaystyle q}$

• Асимптотическое распределение

Из-за возврата к среднему значению по мере увеличения времени распределение будет приближаться к гамма-распределению с плотностью вероятности:${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}$

где и .${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$

Свойства [ править ]

• Среднее обращение ,
• Зависящая от уровня волатильность ( ),${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
• При данном положительном результате процесс никогда не дойдет до нуля, если ; в противном случае он может случайно коснуться нулевой точки,${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$, Поэтому долгосрочное среднее значение ,${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}$

Калибровка [ править ]

• Обычный метод наименьших квадратов

Непрерывный SDE можно дискретизировать следующим образом

${\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

что эквивалентно

${\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

при условии, что это niid (0,1). Это уравнение можно использовать для линейной регрессии.${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

• Оценка Мартингейла
• Максимальная вероятность

Моделирование [ править ]

Стохастическое моделирование процесса CIR может быть достигнуто с использованием двух вариантов:

• Дискретность
• Точный

Цены на облигации [ править ]

При условии отсутствия арбитража цена облигации может оцениваться с использованием этого процесса процентной ставки. Цена облигации экспоненциально сродни процентной ставке:

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)\exp(-B(t,T)r_{t})\!}$

где

${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2h\exp((a+h)(T-t)/2)}{2h+(a+h)(\exp((T-t)h)-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(\exp((T-t)h)-1)}{2h+(a+h)(\exp((T-t)h)-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

Расширения [ править ]

Процесс CIR - это частный случай диффузии базового аффинного скачка , который по-прежнему допускает выражение в замкнутой форме для цен облигаций. В модель можно ввести изменяющиеся во времени функции, заменяющие коэффициенты, чтобы привести ее в соответствие с заранее заданной временной структурой процентных ставок и, возможно, волатильности. Самый общий подход изложен в Maghsoodi (1996). Более гибкий подход содержится в Brigo and Mercurio (2001b), где в модель добавляется внешний временной сдвиг для согласованности с входной временной структурой ставок. Существенное расширение модели CIR на случай стохастического среднего и стохастической волатильности дано Линь Ченом (1996) и известно как модель Чена.. Более недавнее расширение - это так называемый CIR # от Орландо, Мининни и Буфало (2018, ^[1] 2019, ^{[2] [3]} ).

См. Также [ править ]

• Модель Халла – Уайта
• Модель Васичека
• Чен модель

Ссылки [ править ]

Дальнейшие ссылки [ править ]

• Халл, Джон С. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
• Кокс, Дж. К., Дж. Э. Ингерсолл и С. А. Росс (1985). «Теория временной структуры процентных ставок». Econometrica . 53 (2): 385–407. DOI : 10.2307 / 1911242 . JSTOR  1911242 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Магсуди, Ю. (1996). «Решение расширенной срочной структуры CIR и оценки опционов на облигации». Математические финансы . 6 (6): 89–109. DOI : 10.1111 / j.1467-9965.1996.tb00113.x .
• Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляции и кредита (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Бриго, Дамиано; Фабио Меркурио (2001b). «Расширение детерминированного сдвига аналитически податливых и однородных по времени моделей коротких ставок» . Финансы и стохастика . 5 (3): 369–388. DOI : 10.1007 / PL00013541 . S2CID  35316609 .
• Библиотека с открытым исходным кодом, реализующая процесс CIR на Python
• Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (2020). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Vasicek и CIR: подход разделения». Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . DOI : 10.1002 / for.2642 . ISSN  1099-131X . S2CID  126507446 .