Краткосрочная модель

Модель краткосрочной ставки в контексте производных процентных ставок - это математическая модель, которая описывает будущую эволюцию процентных ставок , описывая будущую эволюцию краткосрочной ставки , как правило, в письменном виде .${\ displaystyle r_ {t} \,}$

Краткая ставка [ править ]

В модели короткой ставки в качестве переменной стохастического состояния принимается мгновенная спотовая ставка . ^[1] Краткосрочная ставка, таким образом , представляет собой процентную ставку ( непрерывно начисляемую в годовом исчислении), по которой предприятие может занимать деньги на бесконечно короткий период времени . Указание текущей краткосрочной ставки не определяет всю кривую доходности . Однако, нет арбитража аргументов показывают , что при некоторых достаточно расслаблены технических условиях, если моделировать эволюцию как стохастический процесс под риском-нейтральная меры , то цена на время от а${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle t}$бескупонная облигация со сроком погашения и выплатой 1 равна${\ displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

где - естественная фильтрация процесса. Процентные ставки, подразумеваемые облигациями с нулевым купоном, образуют кривую доходности, или, точнее, нулевую кривую. Таким образом, при указании модели для краткосрочной ставки указываются будущие цены облигаций. Это означает, что мгновенные форвардные курсы также задаются по обычной формуле${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

Конкретные краткосрочные модели [ править ]

В этом разделе представлено стандартное броуновское движение с нейтральной с точки зрения риска мерой вероятности и ее дифференциалом . Если модель является логнормальной , предполагается , что переменная следует процессу Орнштейна – Уленбека и, как предполагается, следует .${\displaystyle W_{t}\,}$${\displaystyle dW_{t}\,}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

Однофакторные модели с короткой ставкой [ править ]

Ниже приведены однофакторные модели, в которых единственный стохастический фактор - короткая ставка - определяет будущую эволюцию всех процентных ставок. За исключением моделей Рендлмана – Барттера и Хо – Ли, которые не учитывают среднее изменение процентных ставок, эти модели можно рассматривать как частные случаи процессов Орнштейна – Уленбека. Модели Васичека, Рендлемана – Барттера и CIR имеют только конечное число свободных параметров, поэтому невозможно указать значения этих параметров таким образом, чтобы модель совпадала с наблюдаемыми рыночными ценами («калибровка»). Эта проблема преодолевается, позволяя параметрам детерминированно изменяться во времени. ^{[2] [3]} Таким образом, модели Хо-Ли и последующие модели могут быть откалиброваны по рыночным данным, что означает, что они могут точно возвращать цену облигаций, составляющую кривую доходности. Реализация обычно осуществляется с помощью ( биномиального ) дерева коротких скоростей ^[4] или моделирования; см. Решетчатая модель (финансы) § Производные инструменты по процентной ставке и методы Монте-Карло для оценки опционов .

1. Модель Мертона (1973) объясняет короткую скорость как : где - одномерное броуновское движение под мерой точечного мартингала . ^[5]${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. Модель Vasicek (1977) моделирует короткую ставку как ; это часто пишут . ^[6]${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
3. Модель Рендлмана – Барттера (1980) объясняет короткую скорость как . ^[7]${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. Модель Кокса – Ингерсолла – Росса (1985) предполагает , ее часто пишут . В фактор не позволяет ( как правило) возможность отрицательных процентных ставок. ^[8]${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
5. Модель Хо – Ли (1986) моделирует короткий курс как . ^[9]${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. Модель Халла – Уайта (1990), также называемая расширенной моделью Васичека, предполагает . Во многих презентациях одного или несколько параметров и не зависят от времени. Модель также может применяться как логнормальная. Реализация на основе решеток обычно трехчлена . ^{[10] [11]}${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$${\displaystyle \theta ,\alpha }$${\displaystyle \sigma }$
7. Модель Блэка-Дермана-Тоя (1990) предназначена для краткосрочной волатильности ставок, зависящей от времени, и других факторов; модель логнормальна. ^[12]${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
8. Модель Блэка-Karasinski (1991), который является логарифмическая, имеет . ^[13] Модель можно рассматривать как логнормальное приложение Халла – Уайта; ^[14] его реализация на основе решетки также является трехчленной (биномиальной, требующей различных временных шагов). ^[4]${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
9. Модель Калотая – Вильямса – Фабоцци (1993) имеет меньшую скорость, как логнормальный аналог модели Хо – Ли и частный случай модели Блэка – Дермана – Тоя. ^[15] Этот подход фактически аналогичен «исходной модели Salomon Brothers » (1987) ^{[16], а} также логнормальному варианту Хо-Ли. ^[17]${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

Многофакторные модели с короткой ставкой [ править ]

Помимо вышеуказанных однофакторных моделей, существуют также многофакторные модели короткой ставки, среди которых наиболее известны двухфакторная модель Лонгстаффа и Шварца и трехфакторная модель Чена (также называемая «стохастической средней и стохастической моделью волатильности» ). Обратите внимание, что для целей управления рисками, «чтобы создать реалистичное моделирование процентных ставок », эти многофакторные модели краткосрочной ставки иногда предпочтительнее однофакторных моделей, поскольку они создают сценарии, которые в целом лучше «согласуются с фактическими». движение кривой доходности ". ^[18]

• Модель Лонгстаффа-Шварца (1992) предполагает, что краткосрочная динамика курса определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

где короткая ставка определяется как

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^[19]

• Модель Чена (1996), которая имеет стохастическое среднее значение и волатильность короткой ставки, задается следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^[20]

Другие модели процентных ставок [ править ]

Другой важной основой для моделирования процентных ставок является модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM). В отличие от описанных выше моделей с короткими ставками, этот класс моделей, как правило, не является марковским. Это делает общие модели HJM трудноразрешимыми с точки зрения вычислений для большинства целей. Большим преимуществом моделей HJM является то, что они дают аналитическое описание всей кривой доходности, а не только краткосрочной ставки. Для некоторых целей (например, для оценки ценных бумаг с ипотечным покрытием) это может быть большим упрощением. Модели Кокса – Ингерсолла – Росса и Халла – Уайта в одном или нескольких измерениях могут быть напрямую выражены в рамках HJM. Другие модели с коротким курсом не имеют простого двойного представления HJM.

Структура HJM с множеством источников случайности, включая модель Брейса – Гатарека – Мусиела и рыночные модели , часто предпочтительнее для моделей более высокого измерения.

См. Также [ править ]

• Отнесение с фиксированным доходом

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Мартин Бакстер и Эндрю Ренни (1996). Финансовый расчет . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55289-9.
• Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляции и кредита (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Джеральд Буетоу и Джеймс Сохацки (2001). Модели с терминологической структурой, использующие биномиальные деревья . Исследовательский фонд AIMR ( Институт CFA ). ISBN 978-0-943205-53-3.
• Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок - Введение . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11894-9.
• Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок ; запись в Энциклопедии актуарных наук . Джон Вили и сыновья . 2004. ISBN. 978-0-470-84676-6.
• KC Чан, Дж. Эндрю Кароли, Фрэнсис Лонгстафф и Энтони Сандерс (1992). Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки (PDF) . Журнал финансов , Vol. XLVII, № 3 июля 1992 г.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Лин Чен (1996). Динамика процентных ставок, ценообразование производных финансовых инструментов и управление рисками . Springer . ISBN 978-3-540-60814-1.
• Раджна Гибсон, Франсуа-Серж Лабитан и Дени Талай (1999). Моделирование временной структуры процентных ставок: обзор . Журнал рисков, 1 (3): 37–62, 1999.
• Лейн Хьюстон (2003). Прошлое, настоящее и будущее моделирования срочной структуры ; запись в Питер Филд (2003). Современное управление рисками . Книги рисков. ISBN 9781906348304.
• Джессика Джеймс и Ник Уэббер (2000). Моделирование процентной ставки . Wiley Finance . ISBN 978-0-471-97523-6.
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов процентной ставки (2-е изд.) . Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 978-0-8047-4438-6.
• Роберт Джарроу (2009). «Временная структура процентных ставок» . Ежегодный обзор финансовой экономики . 1 (1): 69–96. DOI : 10.1146 / annurev.financial.050808.114513 .
• ФК Парк (2004). «Внедрение моделей процентных ставок: практическое руководство» (PDF) . Публикация исследования CMPR . Архивировано из оригинального (PDF) 16 августа 2010 года.
• Риккардо Ребонато (2002). Современное ценообразование процентных деривативов . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08973-7.
• Риккардо Ребонато (2003). «Модели временной структуры: обзор» (PDF) . Рабочий документ Центра количественных исследований Королевского банка Шотландии .