Теорема Холево - важная ограничительная теорема квантовых вычислений , междисциплинарной области физики и информатики . Иногда ее называют границей Холево , поскольку она устанавливает верхнюю границу количества информации, которая может быть известна о квантовом состоянии (доступная информация). Его опубликовал Александр Холево в 1973 году.
Доступная информация
Что касается нескольких концепций квантовой теории информации, доступная информация лучше всего понимается с точки зрения двустороннего взаимодействия. Итак, мы представляем двух участников, Алису и Боба . У Алисы есть классическая случайная величина X , которая может принимать значения {1, 2, ..., n } с соответствующими вероятностями { p 1 , p 2 , ..., p n }. Затем Алиса подготавливает квантовое состояние , представленное матрицей плотности ρ X, выбранной из набора { ρ 1 , ρ 2 , ... ρ n }, и передает это состояние Бобу. Цель Боба найти значение X , и для того , чтобы сделать это, он выполняет измерение на государственном р X , получая классический результат, который мы обозначим с Y . В этом контексте количество доступной информации, то есть количество информации, которую Боб может получить о переменной X , является максимальным значением взаимной информации I ( X : Y ) между случайными величинами X и Y по всем возможные измерения, которые может сделать Боб. [1]
В настоящее время нет известной формулы для вычисления доступной информации. Однако существует несколько оценок сверху, самая известная из которых - оценка Холево, указанная в следующей теореме. [1]
Формулировка теоремы
Пусть { ρ 1 , ρ 2 , ..., ρ n } - набор смешанных состояний, и пусть ρ X - одно из этих состояний, построенное в соответствии с распределением вероятностей P = { p 1 , p 2 , ..., p n }.
Затем для любого измерения, описываемого элементами POVM { E Y } и выполняемого на, количество доступной информации о переменной X, знающей результат измерения Y, ограничено сверху следующим образом:
где а также - энтропия фон Неймана .
Величина в правой части этого неравенства называется информацией Холево или величиной Холево χ :
- .
Доказательство
Доказательство можно дать с помощью трех квантовых систем, называемых . можно интуитивно представить себе как препарат , можно представить себе как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, и можно рассматривать как измерительный прибор Боба.
Составная система в начале находится в состоянии
Состояние Алисы можно представить себе как Алису, имеющую значение для случайной величины . Тогда состояние подготовки - это смешанное состояние, описываемое матрицей плотности , а квантовое состояние, данное Бобу, есть , а измерительный прибор Боба находится в исходном состоянии или состоянии покоя.. Используя известные результаты квантовой теории информации [ требуется пояснение ], можно показать, что
что после некоторых алгебраических манипуляций можно показать, что оно эквивалентно формулировке теоремы. [1]
Комментарии и замечания
По сути, граница Холево доказывает, что при n кубитах , хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации (благодаря квантовой суперпозиции), количество классической информации, которую можно извлечь , то есть получить к ней , можно только увеличить. до n классических (неквантовых) битов . Это удивительно по двум причинам: (1) квантовые вычисления так часто оказываются более мощными, чем классические вычисления, что результаты, которые показывают, что они настолько хороши или уступают традиционным методам, являются необычными, и (2) потому, что для этого требуется комплексные числа для кодирования кубитов, представляющих всего n битов.
Сноски
Смотрите также
Рекомендации
- Холево, Александр С. (1973). «Границы количества информации, передаваемой по квантовому каналу связи». Проблемы передачи информации . 9 : 177–183. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) (см. стр. 531, подраздел 12.1.1 - уравнение (12.6))
- Уайльд, Марк М. (2011). «От классической к квантовой теории Шеннона». arXiv : 1106.1445v2 [ квант-ф ].. См., В частности, раздел 11.6 и последующие. Теорема Холево представлена в упражнении 11.9.1 на стр. 288.