Голономная основа

В математике и математической физике , координатный базис или голономный базис для дифференцируемого многообразия $М$ представляет собой набор базис векторных полей ${е 1, ..., е п}$ , определенных в каждой точку $Р$ в в области многообразия как

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ alpha} = \ lim _ {\ delta x ^ {\ alpha} \ to 0} {\ frac {\ delta \ mathbf {s}} {\ delta x ^ {\ alpha }}},}

где $δ s$ - вектор смещения между точкой $P$ и ближайшей точкой $Q$ , разделение координат которой от точки $P$ равно $δx α$ вдоль координатной кривой $x α$ (т. е. кривая на многообразии, проходящая через $P,$ для которой изменяется локальная координата $x α$ и все координаты постоянны). ^[1]

Можно установить связь между таким базисом и производными по направлениям. Дана параметризованная кривая $C$ на многообразии, задаваемом $x α (λ),$ с касательным вектором $u = u α e α$ , где $u α = dx α / dλ$ , и функция $f (x α),$ определенная в окрестности $C$ , изменение $f$ вдоль $C$ можно записать как

{\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.

Поскольку у нас есть $u = u α e α$ , часто выполняется идентификация между координатным базисным вектором $e α$ и оператором частной производной $\partial / \partial x α$ , при интерпретации векторов как операторов, действующих на скалярные величины. ^[2]

Локальным условием голономности базиса ${e 1, ..., e n}$ является обращение в нуль всех взаимных производных Ли : ^[3]

\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.

Неголономный базис называется анголономным, ^[4] неголономным или некоординатным базисом.

Учитывая метрический тензор $г$ на многообразии $М$ , то в общем случае не удается найти координату базис, ортонормированный в любой открытой области $U$ из $M$ . ^[5] Очевидным исключением является случай, когда $M$ - вещественное координатное пространство $R n,$ рассматриваемое как многообразие, где $g$ - евклидова метрика $δ ij e i \otimes e j$ в каждой точке.

Ссылки [ править ]

↑ MP Hobson; GP Efstathiou; А. Н. Ласенби (2006), Общая теория относительности: введение для физиков , Cambridge University Press , стр. 57
↑ T. Padmanabhan (2010), Gravitation: Foundations and Frontiers , Cambridge University Press , стр. 25
^ Роджер Пенроуз; Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press , стр. 197–199
^ Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер (1970), Гравитация , стр. 210CS1 maint: uses authors parameter (link)
↑ Бернард Ф. Шутц (1980), Геометрические методы математической физики , Cambridge University Press , стр. 47–49, ISBN 9780521298872

См. Также [ править ]

Эта статья, посвященная дифференциальной геометрии, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] MP Hobson; GP Efstathiou; А. Н. Ласенби (2006), Общая теория относительности: введение для физиков , Cambridge University Press , стр. 57

[2] T. Padmanabhan (2010), Gravitation: Foundations and Frontiers , Cambridge University Press , стр. 25

[3] Роджер Пенроуз; Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press , стр. 197–199

[4] Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер (1970), Гравитация , стр. 210CS1 maint: uses authors parameter (link)

[5] Бернард Ф. Шутц (1980), Геометрические методы математической физики , Cambridge University Press , стр. 47–49, ISBN 9780521298872

[1]