В математике , особенно в топологии , многообразие описывается с помощью атласа . Атлас состоит из отдельных карт, которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если многообразие - это поверхность Земли, то атлас имеет более общее значение. В общем, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения слоев .
Диаграммы[ редактировать ]
Определение атласа зависит от понятия диаграммы . Диаграмма для топологического пространства M (также называется координатной диаграммой , координаты патча , координаты карты , или локальный кадр ) является гомеоморфизмом из открытого подмножества U из M на открытое подмножество евклидова пространства . График традиционно записывается как упорядоченная пара .
Формальное определение атласа [ править ]
An атлас для топологического пространства является индексированным семейством графиков на котором обложку (то есть ). Если кообластью каждой карты является n- мерное евклидово пространство , то говорят, что это n -мерное многообразие .
Множественное число атласа - это атласы , хотя некоторые авторы используют атланты . [1] [2]
Атлас на -мерном многообразии называется адекватным атласом, если образ каждой карты является либо, либо , является локально конечным открытым покрытием , и , где - открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат, а - замкнутое полупространство . Каждое второе счетное многообразие допускает адекватный атлас. [3] Кроме того, если есть открытое покрытие второго счетного многообразия , то имеется достаточный атлас на таким образом, что является усовершенствованием . [3]
Карты перехода [ править ]
Карта перехода позволяет сравнить две диаграммы атласа. Чтобы сделать это сравнение, мы рассматриваем состав одной диаграммы с инверсией другой. Эта композиция не является четко определенной, если мы не ограничиваем обе карты пересечением их областей определения. (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты на их пересечении, а именно европейскую часть России.)
Чтобы быть более точным, предположим , что и две карты для многообразия М такое , что является непустым . Карта перехода - это карта, определяемая
Обратите внимание, что поскольку и являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом.
Больше структуры [ править ]
Часто на многообразии требуется больше структуры, чем просто топологическая структура. Например, если нужно однозначное понятие дифференцирования функций на многообразии, необходимо построить атлас, функции переходов которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . Для дифференцируемого многообразия можно однозначно определить понятие касательных векторов, а затем производных по направлениям .
Если каждая функция перехода является гладкой картой , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно было бы потребовать, чтобы карты переходов имели только k непрерывных производных, и в этом случае называется атлас .
В общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атласом. Если карты переходов между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру пучка волокон.
См. Также [ править ]
- Гладкий атлас
- Гладкая рама
Ссылки [ править ]
- Рианна Йост, Юрген (11 ноября 2013 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
- ^ Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (9 марта 2013 г.). Вариационное исчисление II . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
- ^ a b Косинский, Антони (2007). Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC 853621933 .
- Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
- Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
- Husemoller, D (1994), пучки волокон , Springer, Глава 5 «Локальное координатное описание пучков волокон».
Внешние ссылки [ править ]
- Атлас Роуленда, Тодда