Гипсометрическое уравнение

Гипсометрическое уравнение , также известное как уравнение толщины , относится к атмосферному давлению отношения к эквивалентной толщине слоя атмосферы с учетом слоем среднего значением виртуальной температуры , силы тяжести , а иногда и ветром . Он выводится из уравнения гидростатики и закона идеального газа .

Формулировка [ править ]

Гипсометрическое уравнение выражается как: ^[1]

${\ displaystyle h = z_ {2} -z_ {1} = {\ frac {R \ cdot {\ overline {T_ {v}}}}} {g}} \ cdot \ ln \ left ({\ frac {p_ { 1}} {p_ {2}}} \ right),}$

куда:

${\ displaystyle h}$ = толщина слоя [м],

${\ displaystyle z}$ = геометрическая высота [м],

${\ displaystyle R}$= удельная газовая постоянная для сухого воздуха,

${\ displaystyle {\ overline {T_ {v}}}}$= средняя виртуальная температура в кельвинах [K],

${\ displaystyle g}$= ускорение свободного падения [м / с ² ],

${\ displaystyle p}$= давление [ Па ].

В метеорологии , и являются изобарическими поверхности. В радиозонде наблюдения, Гипсометрическое уравнение может быть использовано для вычисления высоты уровня давления с учетом высоты уровня опорного давления и средней виртуальной температурой между ними. Затем, вновь вычисленная высота может быть использована в качестве нового опорного уровня для вычисления высоты следующего уровня с учетом средней виртуальной температурой между ними, и так далее.${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$

Вывод [ править ]

Уравнение гидростатики:

${\ Displaystyle р = \ ро \ cdot g \ cdot z,}$

где - плотность [кг / м ³ ], используется для создания уравнения гидростатического равновесия , записанного в дифференциальной форме:${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle dp = - \ rho \ cdot g \ cdot dz.}$

Это сочетается с законом идеального газа :

${\ displaystyle p = \ rho \ cdot R \ cdot T_ {v}}$

устранить :${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = {\ frac {-g} {R \ cdot T_ {v}}} \, \ mathrm {d} z.}$

Это интегрировано от к :${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {p (z_ {1})} ^ {p (z_ {2})} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = \ int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} {\ frac {-g} {R \ cdot T_ {v}}} \, \ mathrm {d} z.}$

R и g постоянны с z , поэтому их можно вывести за пределы интеграла. Если температура изменяется линейно с z (например, при небольшом изменении z ), ее также можно вывести за пределы интеграла при замене на , среднюю виртуальную температуру между и .${\ displaystyle {\ overline {T_ {v}}}}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.}$

Интеграция дает

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),}$

упрощая до

${\displaystyle \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).}$

Перестановка:

${\displaystyle z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$

или, исключив натуральный журнал:

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.}$

Исправление [ править ]

Эффект Этвёша можно учесть как поправку к гипсометрическому уравнению. Физически, используя систему отсчета, которая вращается вместе с Землей, воздушная масса, движущаяся на восток, фактически весит меньше, что соответствует увеличению толщины между уровнями давления, и наоборот. Исправленное гипсометрическое уравнение выглядит следующим образом: ^[2]

${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g(1+A)}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$

где поправка, обусловленная эффектом Этвёша , A, может быть выражена следующим образом:

${\displaystyle A=-{\frac {1}{g}}(2\Omega {\overline {u}}\cos \phi +{\frac {{\overline {u}}^{2}+{\overline {v}}^{2}}{r}}),}$

куда

${\displaystyle \Omega }$ = Скорость вращения Земли,

${\displaystyle \phi }$ = широта,

${\displaystyle r}$ = расстояние от центра Земли до воздушной массы,

${\displaystyle {\overline {u}}}$ = средняя скорость в продольном направлении (восток-запад), и

${\displaystyle {\overline {v}}}$ = средняя скорость в широтном направлении (север-юг).

Эта поправка значительна для крупномасштабных тропических атмосферных движений.

См. Также [ править ]

• Барометрическая формула
• Изменение давления по вертикали

Ссылки [ править ]