Изменение давления по вертикали

Вертикальное изменение давления - это изменение давления в зависимости от высоты . В зависимости от рассматриваемой жидкости и контекста, на который делается ссылка, она также может значительно различаться по размерам, перпендикулярным высоте, и эти изменения имеют значение в контексте силы градиента давления и ее эффектов. Однако вертикальное отклонение особенно важно, поскольку оно является результатом действия силы тяжести на жидкость; а именно, для той же самой данной жидкости уменьшение высоты внутри нее соответствует более высокому столбу жидкости, утяжеляющемуся в этой точке.

Основная формула [ править ]

Относительно простой вариант ^[1] изменения вертикального давления жидкости заключается в том, что разница давлений между двумя высотами является продуктом изменения высоты, силы тяжести и плотности . Уравнение выглядит следующим образом:

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dh}} = - \ rho g}$, и

куда

P - давление,

ρ - плотность,

g - ускорение свободного падения , а

h - высота.

Символ дельты указывает на изменение данной переменной. Поскольку g отрицательно, увеличение высоты будет соответствовать уменьшению давления, что согласуется с ранее упомянутыми рассуждениями о весе столба жидкости.

Когда плотность и гравитация приблизительно постоянны (то есть при относительно небольших изменениях высоты), простое умножение разницы высот, силы тяжести и плотности даст хорошее приближение разницы давлений. Если разные жидкости накладываются друг на друга, общий перепад давления может быть получен путем сложения двух перепадов давления; первая - от точки 1 до границы, вторая - от границы до точки 2; что потребовало бы просто замены значений ρ и Δ h для каждой жидкости и взятия суммы результатов. Если плотность жидкости зависит от высоты, потребуется математическое интегрирование .

Могут ли плотность и гравитация быть приемлемо аппроксимированы как постоянные, зависит от необходимого уровня точности , а также от шкалы длины разницы высот, поскольку сила тяжести и плотность также уменьшаются с увеличением высоты. В частности, для плотности имеет значение рассматриваемая жидкость; например, морская вода считается несжимаемой жидкостью ; его плотность может меняться с высотой, но гораздо менее значительно, чем у воздуха. Таким образом, плотность воды можно более разумно считать постоянной, чем плотность воздуха, и при одинаковой разнице высот перепады давления в воде примерно одинаковы на любой высоте.

Гидростатический парадокс [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме гидростатического парадокса .

Схема, иллюстрирующая гидростатический парадокс

Барометрическая формула зависит только от высоты жидкостной камеры, а не от ее ширины или длины. При достаточно большой высоте можно добиться любого давления. Эта особенность гидростатики получила название гидростатического парадокса . Как выразился WH Besant , ^[2]

Любое количество жидкости, каким бы малым оно ни было, может выдерживать любой вес, даже большой.

Голландский ученый Саймон Стевин был первым, кто объяснил парадокс математически. ^[3] В 1916 году Ричард Глейзбрук упомянул гидростатический парадокс, описывая устройство, которое он приписал Паскалю : тяжелый груз W лежит на доске с областью A, опирающейся на баллон с жидкостью, соединенный с вертикальной трубкой с площадью поперечного сечения α. Лить воду весом w по трубке в конечном итоге поднимет тяжелый груз. Баланс сил приводит к уравнению

${\ displaystyle W = {\ frac {wA} {\ alpha}}.}$

Глейзбрук говорит: «Сделав площадь доски значительной, а площадь трубы маленькой, большой вес W может поддерживаться небольшим весом w воды. Этот факт иногда описывается как гидростатический парадокс». ^[4]

При обучении этому феномену используются демонстрации гидростатического парадокса. ^{[5] [6]}

В контексте атмосферы Земли [ править ]

Если нужно проанализировать изменение вертикального давления атмосферы Земли , масштаб длины очень важен ( одна тропосфера имеет высоту несколько километров ; термосфера составляет несколько сотен километров), а соответствующая жидкость (воздух) сжимаема. Гравитацию все еще можно обоснованно считать постоянной, потому что масштабы длин порядка километров все еще малы по сравнению с радиусом Земли, который в среднем составляет около 6371 км ^[7], а гравитация является функцией расстояния от ядра Земли. ^[8]

Плотность, с другой стороны, более существенно зависит от высоты. Из закона идеального газа следует, что

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {mP} {kT}},}$

куда

m - средняя масса молекулы воздуха ,

P - давление в данной точке,

k - постоянная Больцмана ,

T - температура в градусах Кельвина .

Проще говоря, плотность воздуха зависит от давления воздуха. Учитывая, что давление воздуха также зависит от плотности воздуха, было бы легко создать впечатление, что это было круговое определение , но это просто взаимозависимость различных переменных. Это дает более точную формулу вида

${\ displaystyle P_ {h} = P_ {0} e ^ {- {\ frac {mgh} {kT}}},}$

куда

P _h - давление на высоте h ,

P ₀ - давление в контрольной точке 0 (обычно на уровне моря),

m - масса, приходящаяся на одну молекулу воздуха,

g - ускорение свободного падения ,

ч является высота от опорной точки 0,

k - постоянная Больцмана ,

T - температура в градусах Кельвина.

Следовательно, вместо того, чтобы быть линейной функцией давления от высоты, как можно было бы ожидать от более простой формулы, приведенной в разделе «Основная формула», оно более точно представлено как экспоненциальная функция от высоты.

Обратите внимание, что в этом упрощении температура считается постоянной, хотя температура также изменяется с высотой. Однако изменение температуры в нижних слоях атмосферы ( тропосфера , стратосфера ) составляет всего несколько десятков градусов, в отличие от их термодинамической температуры , которая измеряется сотнями, поэтому изменение температуры достаточно мало и поэтому игнорируется. Для небольших перепадов высот, включая перепады сверху вниз даже самых высоких зданий (например, башни CN ) или для гор сопоставимого размера, изменение температуры легко будет в пределах однозначных цифр. (См. Также задержку .)

Альтернативный вывод, показанный Портлендским аэрокосмическим обществом ^[9] , используется для определения высоты как функции давления. Это может показаться нелогичным, поскольку давление зависит от высоты, а не наоборот, но такая формула может быть полезна при нахождении высоты на основе разницы давлений, когда известно последнее, а не первое. Для разных приближений представлены разные формулы; для сравнения с предыдущей формулой первой в статье будет ссылка на формулу, в которой применяется такое же приближение постоянной температуры; в таком случае:

${\ displaystyle z = - {\ frac {RT} {g}} \ ln {\ frac {P} {P_ {0}}}}$

где (со значениями, использованными в статье)

z - высота в метрах,

R - удельная газовая постоянная =287,053 Дж / (кг · К)

T - абсолютная температура в градусах Кельвина =288,15 K на уровне моря,

g - ускорение свободного падения =9.806 65  м / с ² на уровне моря,

P - давление в данной точке на высоте z в Паскалях , а

P ₀ - давление в контрольной точке =101,325 Па на уровне моря.

Более общая формула, полученная в той же статье, учитывает линейное изменение температуры как функцию высоты (градиент) и сводится к вышеуказанному значению, когда температура постоянна:

${\ displaystyle z = {\ frac {T_ {0}} {L}} \ left (\ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) ^ {- {\ frac {LR} { g}}} - 1 \ right)}$

куда

L - атмосферный градиент (изменение температуры, деленное на расстояние) =−6,5 × 10 ⁻³  К / м и

T ₀ - температура в той же контрольной точке, для которой P = P ₀

а остальные количества такие же, как указано выше. Это рекомендуемая формула.

См. Также [ править ]

• Барометр
• Гипсометрическое уравнение
• Бочка Паскаля
• Ruina montium
• Градиент давления
• Сифон

Ссылки [ править ]

• Мерлино, Роберт Л. (2003). «Статика - жидкости в состоянии покоя» . Проверено 20 ноября 2014 .