В абстрактной алгебре , модуль является неразложимым , если он не равен нулю и не может быть записан в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей . [1]
Неразложимый - более слабое понятие, чем простой модуль (который также иногда называют неприводимым модулем): простой означает «нет собственного подмодуля» , а неразложимый - «не выражается как ».
Прямая сумма неразложимых называется полностью разложимой ; [ необходима цитата ] это слабее, чем полупрост , который представляет собой прямую сумму простых модулей .
Разложение модуля на неразложимые модули прямой суммой называется неразложимым разложением .
Мотивация [ править ]
Во многих ситуациях все интересующие модули полностью разложимы; тогда неразложимые модули можно рассматривать как «базовые строительные блоки», единственные объекты, которые необходимо изучать. Это тот случай , для модулей над полем или PID , и лежит в основе Джордана нормальной формы из операторов .
Примеры [ править ]
Поле [ править ]
Модули над полями - это векторные пространства . Векторное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда его размерность равна 1. Таким образом, каждое векторное пространство полностью разложимо (действительно, полупросто) с бесконечным числом слагаемых, если размерность бесконечна. [2]
PID [ править ]
Конечно-порожденные модули над областями главных идеалов (PID) классифицируются структурной теоремой для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов : первичная декомпозиция - это разложение на неразложимые модули, поэтому каждый конечно порожденный модуль над PID является полностью разложимым.
Явно модули формы для простых идеалов p (включая p = 0 , что дает R ) неразложимы. Каждый конечно-порожденный R -модуль является их прямой суммой. Обратите внимание, что это просто тогда и только тогда, когда n = 1 (или p = 0 ); например, циклическая группа порядка 4, Z / 4, неразложима, но не проста - в ней есть подгруппа 2 Z / 4 порядка 2, но у нее нет дополнения.
Над целыми числами Z модули являются абелевыми группами . Конечно порожденная абелева группа неразложима тогда и только тогда , когда она изоморфна к Z или к фактору группе формы для некоторого простого числа р и некоторого натурального п . Каждая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой (конечного числа) неразложимых абелевых групп.
Однако существуют и другие неразложимые абелевы группы, которые не являются конечно порожденными; примерами являются рациональные числа Q и p -группы Прюфера Z ( p ∞ ) для любого простого числа p .
Для фиксированного положительного целого числа п , рассмотрят кольцо R из п матрицы с размерностью п матрицы с элементами из действительных чисел (или из любого другого поля K ). Тогда K n - левый R -модуль (скалярное умножение есть умножение матриц ). Это с точностью до изоморфизма единственной неразложимой модуль над R . Каждый левый R -модуль является прямой суммой (конечного или бесконечного числа) копий этого модуля K n .
Факты [ править ]
Каждый простой модуль неразложим. Обратное в общем случае неверно, как показывает второй пример выше.
Глядя на кольце эндоморфизмов модуля, можно сказать , является ли модуль неразложимы: тогда и только тогда , когда кольцо эндоморфизмов не содержит идемпотентная элемент отличен от 0 и 1. [1] (Если F является такой идемпотентная эндоморфизм из M , то M - прямая сумма ker ( f ) и im ( f ).)
Модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально . Еще больше информации об эндоморфизмах неразложимых конечной длины дает лемма Фиттинга .
В ситуации конечной длины разложение на неразложимые особенно полезно из-за теоремы Крулля-Шмидта : каждый модуль конечной длины может быть записан как прямая сумма конечного числа неразложимых модулей, и это разложение по существу уникально (что означает, что если у вас есть другое разложение на неразложимые, тогда слагаемые первого разложения могут быть спарены с слагаемыми второго разложения, так что члены каждой пары изоморфны). [3]
Примечания [ править ]
- ^ a b Якобсон (2009), стр. 111.
- ^ Якобсон (2009), стр. 111, в комментариях после предложения 3.1.
- ^ Якобсон (2009), стр. 115.
Ссылки [ править ]
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7