Бесконечномерная векторная функция относится к функции, значения которой лежат в бесконечномерном векторном пространстве , таком как гильбертово пространство или банахово пространство .
Такие функции применяются в большинстве наук, в том числе в физике .
Пример
Набор для любого натурального числа k и любого действительного числа t . Тогда функция f, определенная для действительных чисел t формулой
- ,
принимает значения, лежащие в бесконечномерном векторном пространстве X (или) действительных последовательностей. Например,
Поскольку ряд различных топологий может быть определен на пространстве X , мы не можем говорить о производных е без первого определения топологии X или понятия предела в X .
Более того, для любого множества A существуют бесконечномерные векторные пространства, имеющие размерность (Гамеля) мощности A (например, пространство функцийс конечным числом ненулевых элементов, где K - искомое поле скаляров ). Более того, аргумент t может лежать в любом наборе, а не в множестве действительных чисел.
Интеграл и производная
Если, например, , где X - банахово пространство или другое топологическое векторное пространство , производную f можно определить стандартным образом:.
Измеримость f может быть определена несколькими способами, наиболее важными из которых являются измеримость по Бохнеру и слабая измеримость .
Наиболее важные интегралы от f называются интегралами Бохнера (когда X - банахово пространство) и интегралами Петтиса (когда X - топологическое векторное пространство). Оба этих интеграла коммутируют с линейными функционалами . Такжедля таких функций определены пространства .
Большинство теорем интегрирования и дифференцирования скалярных функций можно обобщить на вектор-функции, часто используя практически одни и те же доказательства. Возможно, наиболее важным исключением является то, что абсолютно непрерывные функции не обязательно равны интегралам своих (п.в.) производных (если, например, X не является гильбертовым пространством); см. теорему Радона – Никодима
Производная
Функции со значениями в гильбертовом пространстве
Если f является функцией действительных чисел со значениями в гильбертовом пространстве X , то производная f в точке t может быть определена, как в конечномерном случае:
Большинство результатов, относящихся к конечномерному случаю, также верно и в бесконечномерном случае, mutatis mutandis. Дифференциация также может быть определена для функций нескольких переменных (например, или даже , где Y - бесконечномерное векторное пространство).
NB Если X - гильбертово пространство, то легко показать, что любую производную (и любой другой предел) можно вычислить покомпонентно: если
(т.е. , где является ортонормированным базисом пространства X ), а существует, то
- .
Однако существование покомпонентной производной не гарантирует существования производной, поскольку покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства.
Другие бесконечномерные векторные пространства
Большинство выше справедливы и для других топологических векторных пространств X тоже. Однако не так много классических результатов справедливо в контексте банахова пространства , например, абсолютно непрерывная функция со значениями в подходящем банаховом пространстве не обязательно должна иметь производную где-либо. Более того, в большинстве случаев банаховых пространств ортонормированные базисы отсутствуют.
Рекомендации
- Эйнар Хилле и Ральф Филлипс: «Функциональный анализ и полугруппы», Amer. Математика. Soc. Коллок. Publ. Vol. 31, Провиденс, Род-Айленд, 1957.