Пространство Бохнера

В математике , Бохнер пространства являются обобщением концепции L ^р пространств к функциям , чьи значения лежат в банаховом пространстве , которое не является обязательно пространство К или С вещественных или комплексных чисел.

Пространство L ^p (X) состоит из (классов эквивалентности) всех измеримых по Бохнеру функций f со значениями в банаховом пространстве X , норма которых || f || _X лежит в стандартном пространстве L ^p . Таким образом, если X - множество комплексных чисел, это стандартное L ^p- пространство Лебега .

Почти все стандартные результаты о пространствах L ^p верны и для пространств Бохнера; в частности, пространства Бохнера L ^p (X) являются банаховыми пространствами для .${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$

Фон [ править ]

Бохнера пространство названы по - польски - американский математик Бохнер .

Приложения [ править ]

Пространства Бохнера часто используются в подходе функционального анализа к изучению уравнений в частных производных, которые зависят от времени, например уравнения теплопроводности : если температура является скалярной функцией времени и пространства, можно записать, чтобы сделать f семейством f (t ) (параметризованные временем) функций пространства, возможно, в некотором пространстве Бохнера.${\ Displaystyle г (т, х)}$${\ Displaystyle (е (т)) (х): = г (т, х)}$

Определение [ править ]

Для пространства с мерой ( T , Σ,  μ ), банахова пространства ( X , || · || _X ) и 1 ≤  p  ≤ + ∞ пространство Бохнера L ^p ( T ;  X ) определяется как фактор- пространство Колмогорова (по равенству почти всюду ) пространства всех измеримых по Бохнеру функций u  :  T  →  X таких, что соответствующая норма конечна:

${\ Displaystyle \ | и \ | _ {L ^ {p} (T; X)}: = \ left (\ int _ {T} \ | u (t) \ | _ {X} ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu (t) \ right) ^ {1 / p} <+ \ infty {\ mbox {for}} 1 \ leq p <\ infty,}$

${\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {\ infty} (T; X)}: = \ mathrm {ess \, sup} _ {t \ in T} \ | u (t) \ | _ {X } <+ \ infty.}$

Другими словами, как это обычно бывает при изучении л ^р пространств, л ^р ( Т ;  Х ) представляет собой пространство классов эквивалентности функций, где две функции определены эквивалентными , если они равны всюду , за исключением при виде ц - мера нулевое подмножество T . Как это обычно бывает при изучении таких пространств, обычно злоупотребляют обозначениями и говорят о «функции» в L ^p ( T ;  X ), а не о классе эквивалентности (что было бы более технически правильным).

Применение к теории PDE [ править ]

Очень часто пространство T представляет собой интервал времени, в течение которого мы хотим решить какое-либо уравнение в частных производных, а μ будет одномерной мерой Лебега . Идея состоит в том, чтобы рассматривать функцию времени и пространства как совокупность функций пространства, которая параметризуется временем. Например, при решении уравнения теплопроводности в области Ω в R ⁿ и интервале времени [0, T ] ищутся решения

${\ Displaystyle и \ в L ^ {2} \ left ([0, T]; H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ right)}$

с производной по времени

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} \ in L ^ {2} \ left ([0, T]; H ^ {- 1} (\ Omega) \ right).}$

Здесь обозначено гильбертово пространство Соболева некогда слабо дифференцируемых функций с первой слабой производной в L ² (Ω), обращающихся в нуль на границе Ω (в смысле следа или, что то же самое, являются пределами гладких функций с компактным носителем в Ω. ); обозначает двойственное пространство к .${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ ${\displaystyle H^{-1}(\Omega )}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

(« Частная производная » по времени t, указанная выше, на самом деле является полной производной , поскольку использование пространств Бохнера устраняет пространственную зависимость.)

См. Также [ править ]

• Векторозначные функции

Ссылки [ править ]

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.