В математической области теории порядка каждое частично упорядоченное множество P порождает двойственное (или противоположное ) частично упорядоченное множество, которое часто обозначается P op или P d . Эта двойной порядок Р оп определяются как один и тот же набор, но с обратным порядком , т.е. х ≤ у имеет место в P оп тогда и только тогда , когда у ≤ х имеет места в P . Легко видеть, что эта конструкция, которую можно изобразить, перевернувДиаграмма Хассе для перевернутой P действительно даст частично упорядоченный набор. В более широком смысле два частично упорядоченных множества также называются двойственными, если они дуально изоморфны , т. Е. Если один ч.у. по порядку изоморфен двойственному другому.
Важность этого простого определения проистекает из того факта, что каждое определение и теорема теории порядка легко переносятся на двойственный порядок. Формально это фиксируется принципом двойственности для упорядоченных множеств:
- Если данное утверждение верно для всех частично упорядоченных множеств, то его двойственное утверждение, полученное путем инвертирования направления всех отношений порядка и дуализации всех задействованных теоретико-порядковых определений, также справедливо для всех частично упорядоченных множеств.
Если утверждение или определение эквивалентно своему двойственному, то оно называется самодвойственным . Обратите внимание, что рассмотрение двойных порядков настолько фундаментально, что часто возникает неявно при записи ≥ для двойного порядка ≤ без предварительного определения этого «нового» символа.
Примеры [ править ]
Естественно, есть множество примеров двойственных понятий:
- Наибольшие элементы и наименьшие элементы
- Максимальные элементы и минимальные элементы
- Наименьшие верхние границы ( верхняя граница , ∨) и точные нижние границы (infima,)
- Верхние и нижние наборы
- Идеалы и фильтры
- Операторы затворов и операторы ядра .
Примеры самодвойственных понятий включают:
- Будучи ( полной ) решеткой
- Монотонность функций
- Дистрибутивность решеток , т.е. решетки, для которых выполняется ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ), в точности те, для которых выполняется двойственное утверждение ∀ x , y , z : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) выполняется [1]
- Быть булевой алгеброй
- Будучи порядковым изоморфизмом .
Поскольку частичные порядки антисимметричны , самодвойственными являются только отношения эквивалентности .
См. Также [ править ]
- Обратное отношение
- Список тем по булевой алгебре
- Транспонировать график
- Двойственность в теории категорий , частным случаем которой является двойственность в теории порядка
Ссылки [ править ]
- Дэйви, BA; Пристли, HA (2002), Введение в решетки и порядок (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1
