Инверсионное преобразование

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Инверсионное преобразование»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математической физике преобразования инверсии являются естественным расширением преобразований Пуанкаре и включают все конформные взаимно-однозначные преобразования в координатном пространстве-времени . ^{[1] [2]} Они менее изучены в физике, потому что в отличие от вращений и трансляций симметрии Пуанкаре объект не может быть физически преобразован с помощью инверсионной симметрии. Некоторые физические теории инвариантны относительно этой симметрии, в этих случаях это так называемая «скрытая симметрия». Другие скрытые симметрии физики включают калибровочную симметрию и общую ковариацию .

Раннее использование [ править ]

В 1831 году математик Людвиг Иммануил Магнуса начал публиковать на преобразований плоскости , порожденной инверсии окружности радиуса R . Его работа положила начало большому количеству публикаций, теперь называемых инверсивной геометрией . Наиболее известным математиком стал Август Фердинанд Мёбиус, когда он свел плоские преобразования к арифметике комплексных чисел . В компании физиков, использовавших преобразование инверсии на раннем этапе, был лорд Кельвин , и ассоциация с ним приводит к тому, что это преобразование было названо преобразованием Кельвина .

Преобразование по координатам [ править ]

Далее мы будем использовать мнимое время ( ), чтобы пространство-время было евклидовым, а уравнения были проще. Преобразования Пуанкаре задаются преобразованием координат в пространстве-времени, параметризованном 4-векторами  V${\ displaystyle t '= оно}$

${\ Displaystyle V _ {\ mu} ^ {\ prime} = O _ {\ mu} ^ {\ nu} V _ {\ nu} + P _ {\ mu} \,}$

где - ортогональная матрица, а - 4-вектор. Применение этого преобразования дважды к 4-вектору дает третье преобразование той же формы. Основным инвариантом этого преобразования является длина пространства-времени, заданная расстоянием между двумя точками пространства-времени, заданными 4-векторами x и  y :${\ displaystyle O}$${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle г = | ху |. \,}$

Эти преобразования являются подгруппами общих 1-1 конформных преобразований пространства-времени. Эти преобразования можно расширить, чтобы включить все конформные преобразования 1-1 в пространстве-времени.

${\ Displaystyle V _ {\ mu} ^ {\ prime} = \ left (A _ {\ tau} ^ {\ nu} V _ {\ nu} + B _ {\ tau} \ right) \ left (C _ {\ tau \ mu } ^ {\ nu} V _ {\ nu} + D _ {\ tau \ mu} \ right) ^ {- 1}.}$

У нас также должно быть условие, эквивалентное условию ортогональности преобразований Пуанкаре:

${\ Displaystyle AA ^ {T} + BC = DD ^ {T} + CB \,}$

Поскольку можно разделить верхнюю и нижнюю части преобразования на, мы не теряем общности, устанавливая единичную матрицу. В итоге мы получаем${\ displaystyle D,}$${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle V _ {\ mu} ^ {\ prime} = \ left (O _ {\ mu} ^ {\ nu} V _ {\ nu} + P _ {\ tau} \ right) \ left (\ delta _ {\ tau \ mu} + Q _ {\ tau \ mu} ^ {\ nu} V _ {\ nu} \ right) ^ {- 1}. \,}$

Применение этого преобразования дважды к 4-вектору дает преобразование той же формы. Новая симметрия «инверсии» задается 3-тензором. Эта симметрия становится симметрией Пуанкаре, если мы устанавливаем Когда второе условие требует, чтобы матрица была ортогональной. Это преобразование 1-1 означает, что каждая точка отображается в уникальную точку, только если мы теоретически включаем точки на бесконечности.${\ displaystyle Q.}$${\ displaystyle Q = 0.}$${\displaystyle Q=0}$${\displaystyle O}$

Инварианты [ править ]

Инварианты этой симметрии в четырех измерениях неизвестны, однако известно, что инвариант требует минимум 4 точек пространства-времени. В одном измерении, инвариант является хорошо известный кросс-отношение от преобразований Мебиуса :

${\displaystyle {\frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.}$

Поскольку единственные инварианты при этой симметрии включают минимум 4 точки, эта симметрия не может быть симметрией теории точечных частиц. Теория точечных частиц основана на знании длин путей частиц в пространстве-времени (например, от до ). Симметрия может быть симметрией теории струн, в которой струны однозначно определяются своими концами. Распространитель для этой теории строки , начиная с конечными точками и заканчивая конечные точками является конформной функцией 4-мерного инварианта. Строковое поле в теории конечных точек - это функция над конечными точками.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,X)}$${\displaystyle (y,Y)}$

${\displaystyle \phi (x,X).\,}$

Вещественные доказательства [ править ]

Хотя естественно обобщить преобразования Пуанкаре, чтобы найти скрытые симметрии в физике и, таким образом, сузить число возможных теорий физики высоких энергий , экспериментально исследовать эту симметрию сложно, поскольку невозможно преобразовать объект под действием эта симметрия. Косвенным свидетельством этой симметрии является то, насколько точно предсказывают фундаментальные теории физики, инвариантные относительно этой симметрии. Другое косвенное свидетельство состоит в том, приводят ли теории, инвариантные относительно этой симметрии, к противоречиям, например, к получению вероятностей больше 1. До сих пор не было прямых доказательств того, что фундаментальные составляющие Вселенной являются струнами. Симметрия также может быть нарушенной симметрией. Это означает, что, хотя это физическая симметрия, Вселенная «заморозилась» в одном конкретном направлении, поэтому эта симметрия больше не очевидна.

См. Также [ править ]

• Группа вращения SO (3)
• Координатные вращения и отражения
• Симметрии пространства-времени
• Симметрия CPT
• Поле (физика)
• суперструны

Ссылки [ править ]