Интеграл Джексона

В q-аналоговой теории - интегральный ряд Джексона в теории специальных функций, который выражает операцию, обратную q-дифференцированию .

Интеграл Джексона был введен Фрэнком Хилтоном Джексоном . О методах численной оценки см. Exton (1983) .Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFExton1983 ( справка )

Определение [ править ]

Пусть f ( x ) - функция действительной переменной x . Интеграл Джексона от f определяется следующим разложением в ряд:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}$

В более общем смысле, если g ( x ) - другая функция, а D _q g обозначает ее q -производную, мы можем формально записать

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$ или же

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

дающий q- аналог интеграла Римана – Стилтьеса .

Интеграл Джексона как q-первообразная [ править ]

Так же , как обычные первообразные из непрерывной функции можно представить ее интегралом Римана , то можно показать , что интеграл Джексона дает уникальную Q -antiderivative в пределах определенного класса функций (см ^[1] ).

Теорема [ править ]

Предположим, что If ограничено на интервале для некоторого, тогда интеграл Джексона сходится к функции, на которой является q- антипроизводной от Более того, непрерывна в точке с и является единственной первообразной функции в этом классе функций. ^[2]${\displaystyle 0<q<1.}$${\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}$${\displaystyle [0,A)}$${\displaystyle 0\leq \alpha <1,}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle [0,A)}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle F(0)=0}$${\displaystyle f(x)}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Виктор Кац, Покман Чунг, квантовое исчисление , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8 
• Джексон Ф. Х. (1904), "Обобщение функций Γ (n) и x _n ", Proc. R. Soc. 74 64–72.
• Джексон FH (1910), "О q-определенных интегралах", QJ Pure Appl. Математика. 41 193–203.
• Экстон , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538