Квантовое исчисление

Квантовое исчисление , иногда называемое исчислением без ограничений , эквивалентно традиционному исчислению бесконечно малых без понятия пределов . Он определяет «q-исчисление» и «h-исчисление», где h якобы обозначает постоянную Планка, а q обозначает квант. Эти два параметра связаны формулой

{\ Displaystyle д = е ^ {ih} = е ^ {2 \ пи я \ hbar} \,}

где - приведенная постоянная Планка . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}} \,}$

Дифференциация [ править ]

В q-исчислении и h-исчислении дифференциалы функций определяются как

{\ Displaystyle d_ {q} (е (х)) = е (qx) -f (х) \,}

и

{\ Displaystyle d_ {ч} (е (х)) = е (х + ч) -f (х) \,}

соответственно. Тогда производные функций определяются как дроби по q-производной

{\ Displaystyle D_ {q} (е (х)) = {\ гидроразрыва {d_ {q} (f (x))} {d_ {q} (x)}} = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}

и по

{\ Displaystyle D_ {h} (е (х)) = {\ гидроразрыва {d_ {h} (f (x))} {d_ {h} (x)}} = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

В пределе , когда h стремится к 0 или, что то же самое, когда q стремится к 1, эти выражения принимают форму производной классического исчисления.

Интеграция [ править ]

q-интеграл [ править ]

Функция F ( x ) является q-первообразной f ( x ), если D _qF ( x ) = f ( x ). Q-первообразная (или q-интеграл) обозначается как, а выражение для F ( x ) можно найти из формулы, которая называется интегралом Джексона от f ( x ). При 0 < q <1 ряд сходится к функции F ( x ) на интервале (0, A ], если | f ${\ Displaystyle \ int е (х) \, d_ {q} х}$ ${\ Displaystyle \ int е (х) \, d_ {q} х = (1-q) \ сумма _ {j = 0} ^ {\ infty} xq ^ {j} f (xq ^ {j})}$ ( x ) x ^α | ограничена на интервале (0, A ] для некоторого 0 ≤ α <1 .

Q-интеграл представляет собой интеграл Римана – Стилтьеса относительно ступенчатой функции, имеющей бесконечно много точек роста в точках q ^j , причем скачок в точке q ^j равен q ^j . Если мы назовем эту ступенчатую функцию g _q ( t ), то dg _q ( t ) = d _q t . ^[1]

h-интеграл [ править ]

Функция F ( x ) является h-первообразной f ( x ), если D _h F ( x ) = f ( x ). H-первообразная (или h-интеграл) обозначается через . Если и б отличаются на целое кратное ч , то определенный интеграл задается суммой Римана из ф ( х ) на интервале [ , Ь ] разбивается на подынтервалов шириной ч . ${\ Displaystyle \ int е (х) \, d_ {ч} х}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, d_ {h} x}$

Пример [ править ]

Производная функции (для некоторого положительного целого числа ) в классическом исчислении равна . Соответствующие выражения в q-исчислении и h-исчислении: ${\ Displaystyle х ^ {п}}$ $n$ $nx^{n-1}$

D_{q}(x^{n})={\frac {q^{n}-1}{q-1}}x^{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}

с q-скобкой

[n]_{q}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}

и

D_{h}(x^{n})=nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}hx^{n-2}+\cdots +h^{n-1}

соответственно. Выражение тогда является аналогом q-исчисления простого правила степеней для положительных целых степеней. В этом смысле, функция по - прежнему приятно в Q-исчислении, а некрасиво в час-исчислении - Н-исчисление аналогом является вместо этого падения факториала , один может идти дальше и развиваться, например, эквивалентные понятия Тейлора расширение , и так далее, и даже прийти к аналогам q-исчисления для всех обычных функций, которые вы хотели бы иметь, например, аналог для синусоидальной функции, q-производная которой является подходящим аналогом для косинуса . $[n]_{q}x^{n-1}$ $x^{n}$ $x^{n}$ $(x)_{n}:=x(x-1)\cdots (x-n+1).$

История [ править ]

H-исчисление - это просто исчисление конечных разностей , которое изучалось Джорджем Булем и другими, и оказалось полезным в ряде областей, в том числе в комбинаторике и механике жидкостей . Q-исчисление, в некотором смысле восходящее к Леонхарду Эйлеру и Карлу Густаву Якоби , только недавно начало видеть большую полезность в квантовой механике , имея тесную связь с соотношениями коммутативности и алгеброй Ли .

См. Также [ править ]

Некоммутативная геометрия
Квантово-дифференциальное исчисление
Расчет шкалы времени
q-аналог

Ссылки [ править ]

^ Абреу, Луис Даниэль (2006). «Функции, q-ортогональные относительно их собственных нулей» (PDF) . Труды Американского математического общества . 134 (9): 2695–2702. DOI : 10.1090 / S0002-9939-06-08285-2 . JSTOR 4098119 .

Джексон, FH (1908). «О q -функциях и некоем разностном операторе». Труды Королевского общества Эдинбурга . 46 (2): 253–281. DOI : 10.1017 / S0080456800002751 .
Экстон, Х. (1983). q-гипергеометрические функции и приложения . Нью-Йорк: Halstead Press. ISBN 0-85312-491-4.
Кац, Виктор ; Чунг, Покман (2002). Квантовое исчисление . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8.

[1] Абреу, Луис Даниэль (2006). «Функции, q-ортогональные относительно их собственных нулей» (PDF) . Труды Американского математического общества . 134 (9): 2695–2702. DOI : 10.1090 / S0002-9939-06-08285-2 . JSTOR 4098119 .

[1]