В математике метод Якоби для комплексных эрмитовых матриц является обобщением итерационного метода Якоби . Метод итераций Якоби также объясняется во «Введение в линейную алгебру» Стрэнга (1993) .
Матрицы комплексного унитарного вращения R pq итерации Якоби комплексных эрмитовых матриц , чтобы находить численную оценку их собственных векторов и собственных значений одновременно.
Подобно матрицам вращения Гивенса , R pq
( р п q ) м , п знак равно δ м , п м , п ≠ п , q , ( р п q ) п , п знак равно + 1 2 е - я θ , ( р п q ) q , п знак равно + 1 2 е - я θ , ( р п q ) п , q знак равно - 1 2 е + я θ , ( р п q ) q , q знак равно + 1 2 е + я θ {\ displaystyle {\ begin {align} (R_ {pq}) _ {m, n} & = \ delta _ {m, n} & \ qquad m, n \ neq p, q, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {p, p} & = {\ frac {+1} {\ sqrt {2}}} e ^ {- i \ theta}, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {q , p} & = {\ frac {+1} {\ sqrt {2}}} e ^ {- i \ theta}, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {p, q} & = {\ frac {-1} {\ sqrt {2}}} e ^ {+ i \ theta}, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {q, q} & = {\ frac {+1} {\ sqrt {2}}} е ^ {+ я \ тета} \ конец {выровнено}}} Каждая матрица вращения, R pq p- ю и q- ю строки или столбцы матрицы M, если она применяется слева или справа, соответственно:
( р п q M ) м , п знак равно { M м , п м ≠ п , q 1 2 ( M п , п е - я θ - M q , п е + я θ ) м знак равно п 1 2 ( M п , п е - я θ + M q , п е + я θ ) м знак равно q ( M р п q † ) м , п знак равно { M м , п п ≠ п , q 1 2 ( M м , п е + я θ - M м , q е - я θ ) п знак равно п 1 2 ( M м , п е + я θ + M м , q е - я θ ) п знак равно q {\displaystyle {\begin{aligned}(R_{pq}M)_{m,n}&={\begin{cases}M_{m,n}&m\neq p,q\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{p,n}e^{-i\theta }-M_{q,n}e^{+i\theta })&m=p\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{p,n}e^{-i\theta }+M_{q,n}e^{+i\theta })&m=q\end{cases}}\\[8pt](MR_{pq}^{\dagger })_{m,n}&={\begin{cases}M_{m,n}&n\neq p,q\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{m,p}e^{+i\theta }-M_{m,q}e^{-i\theta })&n=p\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{m,p}e^{+i\theta }+M_{m,q}e^{-i\theta })&n=q\end{cases}}\end{aligned}}} Эрмитова матрица , Н определяются сопряженным свойство симметрии транспонирования:
H † = H ⇔ H i , j = H j , i ∗ {\displaystyle H^{\dagger }=H\ \Leftrightarrow \ H_{i,j}=H_{j,i}^{*}} По определению, комплексное сопряжение комплексной унитарной матрицы вращения , R является ее обратной, а также комплексной унитарной матрицей вращения :
R p q † = R p q − 1 ⇒ R p q † † = R p q − 1 † = R p q − 1 − 1 = R p q . {\displaystyle {\begin{aligned}R_{pq}^{\dagger }&=R_{pq}^{-1}\\[6pt]\Rightarrow \ R_{pq}^{\dagger ^{\dagger }}&=R_{pq}^{-1^{\dagger }}=R_{pq}^{-1^{-1}}=R_{pq}.\end{aligned}}} Следовательно, комплекс эквивалентно Гивенс преобразование из эрмитовой матрицы Н также эрмитова матрица похожа на H : T {\displaystyle T}
T ≡ R p q H R p q † , T † = ( R p q H R p q † ) † = R p q † † H † R p q † = R p q H R p q † = T {\displaystyle {\begin{aligned}T&\equiv R_{pq}HR_{pq}^{\dagger },&&\\[6pt]T^{\dagger }&=(R_{pq}HR_{pq}^{\dagger })^{\dagger }=R_{pq}^{\dagger ^{\dagger }}H^{\dagger }R_{pq}^{\dagger }=R_{pq}HR_{pq}^{\dagger }=T\end{aligned}}} Элементы T можно вычислить по приведенным выше соотношениям. Важными элементами итерации Якоби являются следующие четыре:
T p , p = H p , p + H q , q 2 − R e { H p , q e − 2 i θ } , T p , q = H p , p − H q , q 2 + i I m { H p , q e − 2 i θ } , T q , p = H p , p − H q , q 2 − i I m { H p , q e − 2 i θ } , T q , q = H p , p + H q , q 2 + R e { H p , q e − 2 i θ } . {\displaystyle {\begin{array}{clrcl}T_{p,p}&=&&{\frac {H_{p,p}+H_{q,q}}{2}}&-\ \ \ \mathrm {Re} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{p,q}&=&&{\frac {H_{p,p}-H_{q,q}}{2}}&+\ i\ \mathrm {Im} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{q,p}&=&&{\frac {H_{p,p}-H_{q,q}}{2}}&-\ i\ \mathrm {Im} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{q,q}&=&&{\frac {H_{p,p}+H_{q,q}}{2}}&+\ \ \ \mathrm {Re} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\}.\end{array}}} Каждая итерация Якоби с R J pq T J T J p , q R J p , q унитарных матриц вращения .
R p q J ≡ R p q ( θ 2 ) R p q ( θ 1 ) , with θ 1 ≡ 2 ϕ 1 − π 4 and θ 2 ≡ ϕ 2 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}R_{pq}^{J}&\equiv R_{pq}(\theta _{2})\,R_{pq}(\theta _{1}),{\text{ with}}\\[8pt]\theta _{1}&\equiv {\frac {2\phi _{1}-\pi }{4}}{\text{ and }}\theta _{2}\equiv {\frac {\phi _{2}}{2}},\end{aligned}}} где фазовые члены и даются как: ϕ 1 {\displaystyle \phi _{1}} ϕ 2 {\displaystyle \phi _{2}}
tan ϕ 1 = I m { H p , q } R e { H p , q } , tan ϕ 2 = 2 | H p , q | H p , p − H q , q . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}&={\frac {\mathrm {Im} \{H_{p,q}\}}{\mathrm {Re} \{H_{p,q}\}}},\\[8pt]\tan \phi _{2}&={\frac {2|H_{p,q}|}{H_{p,p}-H_{q,q}}}.\end{aligned}}} Наконец, важно отметить, что произведение двух комплексных матриц вращения для заданных углов θ 1 и θ 2 не может быть преобразовано в одну комплексную унитарную матрицу вращения R pq θ ). Произведение двух комплексных матриц вращения определяется выражением:
[ R p q ( θ 2 ) R p q ( θ 1 ) ] m , n = { δ m , n m , n ≠ p , q , − i e − i θ 1 sin θ 2 m = p and n = p , − e + i θ 1 cos θ 2 m = p and n = q , e − i θ 1 cos θ 2 m = q and n = p , + i e + i θ 1 sin θ 2 m = q and n = q . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[R_{pq}(\theta _{2})\,R_{pq}(\theta _{1})\right]_{m,n}={\begin{cases}\ \ \ \ \delta _{m,n}&m,n\neq p,q,\\[8pt]-ie^{-i\theta _{1}}\,\sin {\theta _{2}}&m=p{\text{ and }}n=p,\\[8pt]-e^{+i\theta _{1}}\,\cos {\theta _{2}}&m=p{\text{ and }}n=q,\\[8pt]\ \ \ \ e^{-i\theta _{1}}\,\cos {\theta _{2}}&m=q{\text{ and }}n=p,\\[8pt]+ie^{+i\theta _{1}}\,\sin {\theta _{2}}&m=q{\text{ and }}n=q.\end{cases}}\end{aligned}}} Стрэнг, Г. (1993), Введение в линейную алгебру , Массачусетс: Wellesley Cambridge PressCS1 maint: discouraged parameter (link ) .![{\ displaystyle {\ begin {align} (R_ {pq}) _ {m, n} & = \ delta _ {m, n} & \ qquad m, n \ neq p, q, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {p, p} & = {\ frac {+1} {\ sqrt {2}}} e ^ {- i \ theta}, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {q , p} & = {\ frac {+1} {\ sqrt {2}}} e ^ {- i \ theta}, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {p, q} & = {\ frac {-1} {\ sqrt {2}}} e ^ {+ i \ theta}, \\ [10pt] (R_ {pq}) _ {q, q} & = {\ frac {+1} {\ sqrt {2}}} е ^ {+ я \ тета} \ конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a591846574a1d551c31bdac3735916893b3d0b)
![{\ displaystyle {\ begin {align} (R_ {pq} M) _ {m, n} & = {\ begin {case} M_ {m, n} & m \ neq p, q \\ [8pt] {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (M_ {p, n} e ^ {- i \ theta} -M_ {q, n} e ^ {+ i \ theta}) & m = p \\ [8pt] {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (M_ {p, n} e ^ {- i \ theta} + M_ {q, n} e ^ {+ i \ theta}) & m = q \ end {case}} \\ [8pt] (MR_ {pq} ^ {\ dagger}) _ {m, n} & = {\ begin {cases} M_ {m, n} & n \ neq p, q \\ {\ гидроразрыв {1} {\ sqrt {2}}} (M_ {m, p} e ^ {+ i \ theta} -M_ {m, q} e ^ {- i \ theta}) & n = p \\ [8pt ] {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (M_ {m, p} e ^ {+ i \ theta} + M_ {m, q} e ^ {- i \ theta}) & n = q \ конец {случаи}} \ конец {выровнены}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733b2846efea6856cc9bc602c24362cd644c8076)
![{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {pq} ^ {\ dagger} & = R_ {pq} ^ {- 1} \\ [6pt] \ Rightarrow \ R_ {pq} ^ {\ dagger ^ {\ dagger} } & = R_ {pq} ^ {- 1 ^ {\ dagger}} = R_ {pq} ^ {- 1 ^ {- 1}} = R_ {pq}. \ End {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485440e737cc147e3c0d68854052d1f248646dd2)
![{\ displaystyle {\ begin {align} T & \ Equiv R_ {pq} HR_ {pq} ^ {\ dagger}, && \\ [6pt] T ^ {\ dagger} & = (R_ {pq} HR_ {pq} ^ {\ dagger}) ^ {\ dagger} = R_ {pq} ^ {\ dagger ^ {\ dagger}} H ^ {\ dagger} R_ {pq} ^ {\ dagger} = R_ {pq} HR_ {pq} ^ {\ dagger} = T \ end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669a674d71c101fe75c08515ea412e1a5b4b98bb)
![{\ displaystyle {\ begin {array} {clrcl} T_ {p, p} & = && {\ frac {H_ {p, p} + H_ {q, q}} {2}} & - \ \ \ \ mathrm {Re} \ {H_ {p, q} e ^ {- 2i \ theta} \}, \\ [8pt] T_ {p, q} & = && {\ frac {H_ {p, p} -H_ {q , q}} {2}} & + \ i \ \ mathrm {Im} \ {H_ {p, q} e ^ {- 2i \ theta} \}, \\ [8pt] T_ {q, p} & = && {\ frac {H_ {p, p} -H_ {q, q}} {2}} & - \ i \ \ mathrm {Im} \ {H_ {p, q} e ^ {- 2i \ theta} \ }, \\ [8pt] T_ {q, q} & = && {\ frac {H_ {p, p} + H_ {q, q}} {2}} & + \ \ \ \ mathrm {Re} \ { H_ {p, q} e ^ {- 2i \ theta} \}. \ End {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bda328adf3c06b42c41ba58846a5d8728b9b5d)
![{\ Displaystyle {\ begin {align} R_ {pq} ^ {J} & \ Equiv R_ {pq} (\ theta _ {2}) \, R_ {pq} (\ theta _ {1}), {\ text {with}} \\ [8pt] \ theta _ {1} & \ Equiv {\ frac {2 \ phi _ {1} - \ pi} {4}} {\ text {и}} \ theta _ {2} \ Equiv {\ frac {\ phi _ {2}} {2}}, \ end {выровнены}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05b1c8690a2710e3e457b576a90d8ba8e3ef053)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan \ phi _ {1} & = {\ frac {\ mathrm {Im} \ {H_ {p, q} \}} {\ mathrm {Re} \ {H_ {p , q} \}}}, \\ [8pt] \ tan \ phi _ {2} & = {\ frac {2 | H_ {p, q} |} {H_ {p, p} -H_ {q, q }}}. \ end {выровнены}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aef36674bd617dc2d5beeff49e89ebc0864e41a)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [R_ {pq} (\ theta _ {2}) \, R_ {pq} (\ theta _ {1}) \ right] _ {m, n} = {\ begin {case} \ \ \ \ \ delta _ {m, n} & m, n \ neq p, q, \\ [8pt] -ie ^ {- i \ theta _ {1}} \, \ sin {\ theta _ {2}} & m = p {\ text {and}} n = p, \\ [8pt] -e ^ {+ i \ theta _ {1}} \, \ cos {\ theta _ {2}} & m = p {\ text {and}} n = q, \\ [8pt] \ \ \ \ e ^ {- i \ theta _ {1}} \, \ cos {\ theta _ {2}} & m = q { \ text {and}} n = p, \\ [8pt] + ie ^ {+ i \ theta _ {1}} \, \ sin {\ theta _ {2}} & m = q {\ text {and}} п = д. \ end {case}} \ end {выровнены}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5dd6b4ab3d788f29b0fe4424af2f6796fc929ba)
