В геометрии , то японские теорема утверждает , что независимо от того , как один триангулирует с циклическим многоугольник , то сумма из inradii из треугольников является постоянным . [1] : стр. 193
|
| |
сумма радиусов зеленых кругов = сумма радиусов красных кругов |
И наоборот, если сумма радиусов не зависит от триангуляции, то многоугольник является циклическим. Японская теорема следует из теоремы Карно ; это проблема сангаку .
Доказательство
Эту теорему можно доказать, сначала доказав частный случай: независимо от того, как триангулируют циклический четырехугольник , сумма радиусов треугольников постоянна.
После доказательства четырехугольника, общий случай теоремы о циклическом многоугольнике является непосредственным следствием. Правило четырехугольника может быть применено к четырехугольным компонентам общего разбиения циклического многоугольника, а повторное применение правила, которое «переворачивает» одну диагональ, сгенерирует все возможные разбиения из любого данного разбиения, причем каждый «переворот» сохраняет сумма внутренних радиусов.
Случай четырехугольника следует из простого расширения японской теоремы для вписанных четырехугольников , которая показывает, что прямоугольник образован двумя парами центров, соответствующих двум возможным треугольникам четырехугольника. Шаги этой теоремы не требуют ничего, кроме базовой конструктивной евклидовой геометрии. [2]
При дополнительном построении параллелограмма, имеющего стороны, параллельные диагоналям, и касательные к углам прямоугольника центров, четырехугольник теоремы о циклическом многоугольнике может быть доказан за несколько шагов. Равенство сумм радиусов двух пар равносильно тому, что построенный параллелограмм является ромбом, и это легко показать при построении.
Другое доказательство четырехугольника было получено Уилфредом Рейесом (2002). [3] В доказательстве доказываются как японская теорема для вписанных четырехугольников, так и четырехугольный случай теоремы о циклическом многоугольнике как следствие проблемы III Тебо .
Смотрите также
- Теорема Карно , которая используется в доказательстве теоремы выше
- Теорема о равных вписанных окружностях
- Касательные линии к окружностям
Заметки
- Перейти ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- ^ Fukagawa, Хидэтоси; Педое, Д. (1989). Японская храмовая геометрия . Манитоба, Канада: Исследовательский центр Чарльза Бэббиджа. С. 125–128. ISBN 0919611214.
- ^ Рейес, Уилфред (2002). «Применение теоремы Тебо» (PDF) . Форум Геометрикорум . 2 : 183–185 . Проверено 2 сентября 2015 года .
Рекомендации
- Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Иконы математики: исследование двадцати ключевых образов . МАА, 2011 г., ISBN 9780883853528 , стр. 121–125
- Уилфред Рейес: Применение теоремы Тибо . Forum Geometricorum, Том 2, 2002 г., стр. 183–185
Внешние ссылки
- Мангхо Ахуджа, Ватару Уэгаки, Кайо Мацусита: в поисках японской теоремы
- Японская теорема в Mathworld
- Интерактивная демонстрация японской теоремы на сайте CaR
- Ватару Уэгаки: «Японская теорема の 起源 と 歴 史» (О происхождении и истории японской теоремы) http://hdl.handle.net/10076/4917