Совместное распределение вероятностей
Учитывая две случайные величины , которые определены в одном и том же вероятностном пространстве , [1] совместное распределение вероятностей является соответствующим распределением вероятностей для всех возможных пар выходов. Совместное распределение можно точно так же рассматривать для любого заданного числа случайных величин. Совместное распределение кодирует маргинальные распределения , то есть распределения каждой из отдельных случайных величин. Он также кодирует условные распределения вероятностей , которые имеют дело с тем, как распределяются выходные данные одной случайной переменной при наличии информации о выходных данных другой случайной переменной (других).
В формальной математической установке теории меры совместное распределение задается опережающей мерой , картой, полученной путем объединения данных случайных величин, вероятностной меры выборочного пространства .
В случае вещественнозначных случайных величин совместное распределение, как конкретное многомерное распределение, может быть выражено многомерной кумулятивной функцией распределения или многомерной функцией плотности вероятности вместе с многомерной функцией массы вероятности . В частном случае непрерывных случайных величин достаточно рассмотреть функции плотности вероятности, а в случае дискретных случайных величин достаточно рассмотреть функции массы вероятности.
Предположим, что в каждой из двух урн содержится в два раза больше красных шаров, чем синих, и никаких других, и предположим, что из каждой урны случайно выбран один шар, причем два розыгрыша независимы друг от друга. Пусть и — дискретные случайные величины, связанные с результатами розыгрыша из первой урны и второй урны соответственно. Вероятность вытащить красный шар из любой из урн равна 2/3, а вероятность вытащить синий шар — 1/3. Совместное распределение вероятностей представлено в следующей таблице:
Каждая из четырех внутренних ячеек показывает вероятность того или иного сочетания результатов двух розыгрышей; эти вероятности являются совместным распределением. В любой одной ячейке вероятность появления конкретной комбинации (поскольку розыгрыши независимы) равна произведению вероятности указанного результата для A и вероятности указанного результата для B. Вероятности в этих четырех ячейках в сумме равны 1, как это всегда верно для вероятностных распределений.
Более того, последняя строка и последний столбец дают предельное распределение вероятностей для A и предельное распределение вероятностей для B соответственно. Например, для A первая из этих ячеек дает сумму вероятностей того, что A будет красным, независимо от того, какая вероятность для B в столбце над ячейкой встречается, как 2/3. Таким образом, маргинальное распределение вероятностей для дает безусловные на , вероятности на полях таблицы.