Догадки Капланского
Математик Ирвинг Каплански известен тем, что выдвинул многочисленные гипотезы в нескольких разделах математики, включая список из десяти гипотез об алгебрах Хопфа . Их обычно называют гипотезами Капланского .
и гипотеза единицы Капланского (которая была первоначально сделана Грэмом Хигманом и популяризирована Каплански):
Гипотеза делителя нуля влечет гипотезу об идемпотенте и вытекает из гипотезы единицы. По состоянию на 2021 год гипотезы о делителях нуля и идемпотентах открыты. Гипотеза единицы, однако, была опровергнута Джайлсом Гардамом для полей с положительными характеристиками в феврале 2021 года: он опубликовал препринт на arXiv , в котором строится контрпример. [1] [2] [3] Поле имеет характеристику 2. (см. также: Группа Фибоначчи )
Имеются доказательства как гипотезы об идемпотенте, так и гипотезы делителя нуля для больших классов групп. Например, известно, что гипотеза о делителях нуля верна для всех виртуально разрешимых групп и, в более общем случае, также для всех разрешимых групп без аппроксимируемого кручения. Эти решения проходят через установление сначала заключения к гипотезе Атьи о -числах Бетти, из которой легко следует гипотеза о делителях нуля.
Гипотеза об идемпотенте имеет обобщение, гипотезу об идемпотенте Кадисона , также известную как гипотеза Кадисона-Капланского, для элементов редуцированной групповой C*-алгебры . В этом случае известно, что если гипотеза Фаррелла–Джонса верна для K [ G ] , то верна и гипотеза об идемпотенте. Последнее было положительно решено для чрезвычайно большого класса групп, включая, например, все гиперболические группы .
Известно также, что гипотеза о единице верна во многих группах, но ее частные решения гораздо менее надежны, чем две другие. Например, существует трехмерная кристаллографическая группа без кручения, для которой неизвестно, все ли единицы тривиальны. Известно, что эта гипотеза не следует из какого-либо аналитического утверждения, подобного двум другим, и поэтому все случаи, когда известно, что она выполняется, были установлены с помощью прямого комбинаторного подхода, включающего так называемое свойство уникальных продуктов. Благодаря упомянутой выше работе Гардама теперь известно, что это в общем случае неверно.