Интегральная теорема Кирхгофа (иногда называемая интегральной теоремой Френеля – Кирхгофа) [1] использует тождества Грина для вывода решения однородного волнового уравнения в произвольной точке P через значения решения волнового уравнения и ее производная первого порядка во всех точках на произвольной поверхности, покрывающей P . [2]
Уравнение
Монохроматические волны
Для монохроматической волны интеграл имеет следующий вид : [2] [3]
где интегрирование выполняется по произвольной замкнутой поверхности S (охватывающей r ), s - расстояние от элемента поверхности до точки r , а ∂ / ∂ n обозначает дифференцирование по нормали к поверхности ( производная по нормали ). Обратите внимание, что в этом уравнении нормаль указывает внутрь замкнутого объема; если используется более обычная нормаль, направленная наружу , интеграл будет иметь противоположный знак.
Немонохроматические волны
Более общий вид может быть получен для немонохроматических волн. Комплексная амплитуда волны может быть представлена в виде интеграла Фурье вида
где в силу обращения Фурье имеем
Интегральная теорема (см. Выше) применяется к каждой компоненте Фурье , и получается следующее выражение: [2]
где квадратные скобки в терминах V обозначают запаздывающие значения, то есть значения в момент времени t - s / c .
Кирхгоф показал, что указанное выше уравнение во многих случаях можно аппроксимировать к более простой форме, известной как дифракционная формула Кирхгофа или Френеля-Кирхгофа , которая эквивалентна уравнению Гюйгенса-Френеля , но дает формулу для коэффициента наклона, которая равна не определено в последнем. Дифракционный интеграл может применяться к широкому кругу задач оптики.
Смотрите также
Рекомендации
дальнейшее чтение
- Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
- Введение в электродинамику (3-е издание) , DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
- Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры , диапазон YB, John Wiley & Sons, 2010 г., ISBN 978-0-471-89931-0
- The Light Fantastic - Introduction to Classic and Quantum Optics , IR Kenyon, Oxford University Press, 2008 г., ISBN 978-0-19-856646-5
- Энциклопедия физики (2-е издание) , RG Lerner , GL Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
- Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3