Формула дифракции Кирхгофа [1] [2] (также формула дифракции Френеля – Кирхгофа ) может использоваться для моделирования распространения света в широком диапазоне конфигураций либо аналитически, либо с помощью численного моделирования . Он дает выражение для волнового возмущения, когда монохроматическая сферическая волна проходит через отверстие в непрозрачном экране. Уравнение выводится путем нескольких приближений к интегральной теореме Кирхгофа, которая использует теорему Грина для вывода решения однородного волнового уравнения .
Вывод дифракционной формулы Кирхгофа.
Интегральная теорема Кирхгофа , иногда называемая интегральной теоремой Френеля – Кирхгофа, [3] использует тождества Грина для вывода решения однородного волнового уравнения в произвольной точке P через значения решения волнового уравнения и его первого производный во всех точках на произвольную поверхность , которая окружает P .
Решение интегральной теоремы для монохроматического источника:
где U - комплексная амплитуда возмущения на поверхности, k - волновое число , s - расстояние от P до поверхности.
Сделаны следующие предположения:
- U и ∂ U / ∂ n разрывны на границах отверстия,
- расстояние до точечного источника и размер отверстия S намного больше λ.
Точечный источник
Рассмотрим монохроматический точечный источник в точке P 0 , который освещает отверстие в экране. Энергия волны, излучаемой точечным источником, спадает пропорционально квадрату пройденного расстояния, поэтому амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию. Комплексная амплитуда возмущения на расстоянии r определяется выражением
где а представляет собой величину возмущения в точечном источнике.
Возмущение в точке P можно найти, применив интегральную теорему к замкнутой поверхности, образованной пересечением сферы радиуса R с экраном. Интегрирование выполняется по областям A 1 , A 2 и A 3 , что дает
Для решения уравнения предполагается, что значения U и ∂ U / ∂ n в области A 1 такие же, как и при отсутствии экрана, что дает в Q :
где r - длина P 0 Q , а ( n , r ) - угол между P 0 Q и нормалью к отверстию.
Кирхгоф предполагает, что значения U и ∂ U / ∂ n в A 2 равны нулю. Это означает, что U и ∂ U / ∂ n разрывны на краю апертуры. Это не так, и это одно из приближений, используемых при выводе уравнения. [4] [5] Эти предположения иногда называют граничными условиями Кирхгофа.
Вклад A 3 в интеграл также предполагается равным нулю. Это можно оправдать, сделав предположение, что источник начинает излучать в определенное время, а затем сделав R достаточно большим, чтобы при рассмотрении возмущения в точке P никакие вклады от A 3 туда не поступали. [1] Такая волна больше не является монохроматической , поскольку монохроматическая волна должна существовать всегда, но в этом предположении нет необходимости, и был получен более формальный аргумент, позволяющий избежать ее использования. [6]
У нас есть
где ( n , s ) - угол между нормалью к отверстию и PQ . Обратите внимание, что в этом выводе ( n , s )> π / 2 и cos ( n , s ) отрицательный.
Наконец, предполагается , что члены 1 / r и 1 / s пренебрежимо малы по сравнению с k , поскольку r и s обычно намного больше, чем 2π / k , что равно длине волны . Таким образом, интеграл выше, который представляет комплексную амплитуду в точке P , становится
Это формула дифракции Кирхгофа или Френеля – Кирхгофа.
Эквивалентность уравнению Гюйгенса – Френеля.
Принцип Гюйгенса – Френеля может быть получен интегрированием по другой замкнутой поверхности. Область A 1 выше заменена волновым фронтом от точки P 0 , который почти заполняет апертуру, и частью конуса с вершиной в точке P 0 , обозначенной на схеме A 4 . Если радиус кривизны волны достаточно велик, вкладом от A 4 можно пренебречь. У нас также есть
где χ определено в принципе Гюйгенса – Френеля , а cos ( n , r ) = 1. Комплексная амплитуда волнового фронта при r 0 определяется выражением
Формула дифракции принимает вид
Это дифракционная формула Кирхгофа, которая содержит параметры, которые должны были быть произвольно заданы при выводе уравнения Гюйгенса – Френеля .
Расширенный источник
Предположим, что проем освещен протяженной волной источника. [7] Комплексная амплитуда на апертуре определяется как U 0 ( r ).
Предполагается, как и раньше, что значения U и ∂ U / ∂ n в области A 1 такие же, как и при отсутствии экрана, что значения U и ∂ U / ∂n в A 2 равны нулю. (Граничные условия Кирхгофа) и что вклад A 3 в интеграл также равен нулю. Также предполагается, что 1 / с пренебрежимо мала по сравнению с k . Тогда у нас есть
Это наиболее общая форма дифракционной формулы Кирхгофа. Чтобы решить это уравнение для расширенного источника, потребуется дополнительное интегрирование, чтобы суммировать вклады, вносимые отдельными точками в источнике. Если, однако, мы предположим, что свет от источника в каждой точке апертуры имеет четко определенное направление, что имеет место, если расстояние между источником и апертурой значительно больше, чем длина волны, то мы можем написать
где a ( r ) - величина возмущения в точке r отверстия. Тогда у нас есть
и поэтому
Уравнения дифракции Фраунгофера и Френеля
Несмотря на различные приближения, которые были сделаны при выводе формулы, ее достаточно для описания большинства задач инструментальной оптики. Это происходит главным образом потому, что длина волны света намного меньше размеров любых встречающихся препятствий. Аналитические решения невозможны для большинства конфигураций, но уравнение дифракции Френеля и уравнение дифракции Фраунгофера , которые являются приближениями формулы Кирхгофа для ближнего и дальнего полей , можно применять к очень широкому кругу оптических систем.
Одно из важных предположений, сделанных при получении формулы дифракции Кирхгофа, состоит в том, что r и s значительно больше, чем λ. Можно сделать другое приближение, которое еще больше упрощает уравнение: расстояния P 0 Q и QP намного больше, чем размеры отверстия. Это позволяет сделать еще два приближения:
- cos ( n, r ) - cos ( n, s ) заменяется на 2cos β, где β - угол между P 0 P и нормалью к отверстию. Фактор 1 / rs заменяется на 1 / r ' s ' , где r ' и s ' - расстояния от P 0 и P до начала координат, которое находится в апертуре. Тогда комплексная амплитуда становится:
- Предположим, что отверстие лежит в плоскости xy , а координаты P 0 , P и Q (общая точка в отверстии) равны ( x 0 , y 0 , z 0 ), ( x , y , z ) и ( x ' , y ' , 0) соответственно. Тогда у нас есть:
Мы можем выразить r и s следующим образом:
Их можно расширить до степенных рядов:
Комплексную амплитуду в точке P теперь можно выразить как
где f ( x ' , y ' ) включает в себя все члены приведенных выше выражений для s и r, кроме первого члена в каждом выражении, и может быть записано в форме
где c i - константы.
Фраунгофера дифракция
Если всеми членами в f ( x ' , y ' ) можно пренебречь, кроме членов в x ' и y ' , мы получим уравнение дифракции Фраунгофера . Если направляющие косинусы P 0 Q и PQ равны
Тогда уравнение дифракции Фраунгофера имеет вид
где C - постоянная. Это также можно записать в виде
где k 0 и k - волновые векторы волн, распространяющихся от P 0 к апертуре и от апертуры к P соответственно, а r ' - точка в апертуре.
Если точечный источник заменить протяженным источником, комплексная амплитуда которого на апертуре равна U 0 ( r ' ), то уравнение дифракции Фраунгофера будет иметь следующий вид:
где a 0 ( r ' ) - по-прежнему величина возмущения на отверстии.
Помимо приближений, сделанных при выводе уравнения Кирхгофа, предполагается, что
- r и s значительно больше размера апертуры,
- Членами второго и более высокого порядка в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.
Дифракция Френеля
Когда квадратичными членами нельзя пренебречь, но можно всеми членами более высокого порядка, уравнение становится уравнением дифракции Френеля . Используются приближения для уравнения Кирхгофа и дополнительные предположения:
- r и s значительно больше размера апертуры,
- Членами третьего и более высокого порядка в выражении f ( x ' , y ' ) можно пренебречь.
Рекомендации
- ^ a b Родился, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 986. ISBN. 9780521642224.
- ^ Лонгхерст, Ричард Сэмюэл (1986). Геометрическая и физическая оптика . Orient BlackSwan. п. 651. ISBN. 8125016236.
- ^ Кирхгоф, Г. (1883). "Zur Theorie der Lichtstrahlen" . Annalen der Physik (на немецком языке). Вайли. 254 (4): 663–695. Bibcode : 1882AnP ... 254..663K . DOI : 10.1002 / andp.18832540409 .
- ^ JZ Buchwald & C.-P. Янг, "Теория Кирхгофа для оптической дифракции, ее предшественник и последующее развитие: устойчивость противоречивой теории" , Архив истории точных наук , т. 70, нет. 5 (сентябрь 2016 г.), стр. 463–511; DOI : 10.1007 / s00407-016-0176-1 .
- ^ Дж. Саатси и П. Викерс, «Чудесный успех? Несогласованность и неправда в теории дифракции Кирхгофа», British J. for the Philosophy of Science , vol. 62, нет. 1 (март 2011 г.), стр. 29–46; jstor.org/stable/41241806 . (Предварительная версия, с другой нумерацией страниц: dro.dur.ac.uk/10523/1/10523.pdf .)
- ^ М. Борн, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie . Берлин, Springer, 1933 г., переиздано в 1965 г., стр. 149.
- ^ MV Klein & TE Furtak, 1986, Оптика ; 2-е изд. John Wiley & Sons, Нью-Йорк ISBN 0-471-87297-0 .
дальнейшее чтение
- Бейкер, BB; Копсон, ET (1939, 1950). Математическая теория принципа Гюйгенса . Оксфорд.
- Воан, Грэм (2000). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521575072.
- Дж. Гудман (2005). Введение в Фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Co Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику . Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2.
- Группа, Иегуда Б. (2006). Свет и материя: электромагнетизм, оптика, спектроскопия и лазеры . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-89931-0.
- Кеньон, Ян (2008). The Light Fantastic: современное введение в классическую и квантовую оптику . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-856646-5.
- Лернер, Рита Г .; Джордж Л., Тригг (1991). Энциклопедия физики . ВЧ. ISBN 978-0-89573-752-6.
- Сибил П., Паркер (1993). Энциклопедия физики МакГроу-Хилла . McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3.