Поверхность Куммера

В алгебраической геометрии квартическая поверхность Куммера , впервые изученная Эрнстом Куммером ( 1864 ), представляет собой неприводимую узловую поверхность степени 4 в с максимально возможным числом 16 двойных точек. Любая такая поверхность является многообразием Куммера якобиана гладкой гиперэллиптической кривой рода 2 ; т.е. фактор якобиана по инволюции Куммера x ↦ − x . Инволюция Куммера имеет 16 неподвижных точек: 16 точек 2-кручения якобиана, и они являются 16 особыми точками поверхности квартики. Разрешение 16 двойных точек фактора (возможно, неалгебраического) тора с помощью инволюции Куммера дает поверхность K3 с 16 непересекающимися рациональными кривыми; эти поверхности К3 также иногда называют поверхностями Куммера. $\mathbb {P} ^{3}$

Другие поверхности, тесно связанные с поверхностями Куммера, включают поверхности Уэддла , волновые поверхности и тетраэдроиды .

Пусть – поверхность четвертого порядка с обычной двойной точкой p , вблизи которой K выглядит как квадратичный конус. Любая проективная прямая, проходящая через p , тогда пересекает K с кратностью два в p и, следовательно, встретится с квартикой K всего в двух других точках. Отождествляя прямые через точку p с , мы получаем двойное покрытие от раздутия K в точке p до ; это двойное покрытие задается отправкой q ≠ p ↦ и любой прямой в касательном конусе p в K на себя. Локусом ветвления двойного накрытия является плоская кривая C степени 6, и все узлы K , которые не являются p , отображаются в узлы C . $K\subset \mathbb {P} ^{3}$ $\mathbb {P} ^{3}$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\scriptstyle {\overline {pq}}$

По формуле степени рода максимально возможное количество узлов на секстической кривой получается, когда кривая представляет собой объединение прямых, и в этом случае у нас есть 15 узлов. Следовательно, максимальное количество узлов в квартике равно 16, и в этом случае все они являются простыми узлами (чтобы показать, что это простой проект из другого узла). Квартика, которая получает эти 16 узлов, называется квартикой Куммера, и мы сосредоточимся на ней ниже. $6$ ${\ displaystyle p}$

Поскольку это простой узел, касательный конус к этой точке преобразуется в конику под двойным покрытием. Эта коника на самом деле касается шести прямых (доказательства нет). И наоборот, учитывая конфигурацию коники и шести прямых, касающихся ее на плоскости, мы можем определить двойное накрытие плоскости, разветвленное над объединением этих шести прямых. Это двойное накрытие может быть отображено в , при отображении, которое разрушает двойное накрытие специальной коники и является изоморфизмом в другом месте (нет доказательств). ${\ displaystyle p}$ $\mathbb {P} ^{3}$