Разветвленное покрытие

В топологии карта является разветвленным покрытием , если она является покрывающей везде, кроме нигде не плотного множества, известного как множество ветвей. Примеры включают отображение клина кругов в один круг, где отображение представляет собой гомеоморфизм на каждом круге.

В алгебраической геометрии термин разветвленное покрытие используется для описания морфизмов из алгебраического многообразия в другое , при этом две размерности одинаковы, а типичный слой имеет размерность 0. ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle В}$ ${\ Displaystyle Вт}$ ${\ Displaystyle е}$

В этом случае будет открытое множество ( для топологии Зарисского ), плотное в такое, что ограничение на (то есть от на ) неразветвлено . ^[^{необходимо уточнение}^] В зависимости от контекста мы можем принять это как локальный гомеоморфизм для сильной топологии над комплексными числами или как этальный морфизм в целом (при некоторых более сильных гипотезах о плоскостности и отделимости ). вообще ${\ Displaystyle W'}$ ${\ Displaystyle Вт}$ ${\ Displaystyle Вт}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle W'}$ ${\ Displaystyle V '= е ^ {- 1} (W ')}$ ${\ Displaystyle W'}$ , то такой морфизм напоминает накрывающее пространство в топологическом смысле. Например, если и являются обеими римановыми поверхностями , мы требуем только голоморфности, а не константы, и тогда существует конечное множество точек , вне которых мы действительно находим честное покрытие ${\ Displaystyle В}$ ${\ Displaystyle Вт}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle Р}$ ${\ Displaystyle Вт}$

Множество исключительных точек на называется местом ветвления (т. е. это дополнение к максимально возможному открытому множеству ). В общем случае монодромия возникает по фундаментальной группе , действующей на листы накрытия (эта топологическая картина может быть уточнена и в случае общего базового поля). ${\ Displaystyle Вт}$ ${\ Displaystyle W'}$ ${\ Displaystyle W'}$

Разветвленные накрытия легко строятся как расширения Куммера , т. е. как алгебраические расширения поля функций . Гиперэллиптические кривые являются прототипами.

Морфизмы кривых дают много примеров разветвленных накрытий. Например, пусть $C$ будет эллиптической кривой уравнения