Проблема замыкания-дополнения Куратовского

---

В точечно-множественной топологии задача Куратовского о замыкании-дополнении требует наибольшего количества различных наборов, которые можно получить, многократно применяя операции над множествами замыкания и дополнения к заданному начальному подмножеству топологического пространства . Ответ равен 14. Этот результат был впервые опубликован Казимежем Куратовским в 1922 г. ^[1] Он получил дополнительное освещение в фундаментальной монографии Куратовского « Топология» (впервые опубликованной на французском языке в 1933 г.; первый английский перевод появился в 1966 г.), прежде чем он стал известен как учебник. упражнение в классической книге Джона Л. Келли 1955 года «Общая топология» .^[2]

Позволяя обозначать произвольное подмножество топологического пространства, писать для замыкания и для дополнения . Следующие три тождества подразумевают, что можно получить не более 14 различных наборов:${\displaystyle S}$${\displaystyle kS}$${\displaystyle S}$${\displaystyle cS}$${\displaystyle S}$

Первые два тривиальны. Третье следует из тождества где внутренность которого равна дополнению замыкания дополнения , . (Операция идемпотентна.)${\displaystyle kikiS=kiS}$${\displaystyle iS}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle iS=ckcS}$${\displaystyle ki=kckc}$

Подмножество, реализующее максимум 14, называется 14-множеством . Пространство действительных чисел в обычной топологии содержит 14-множеств. Вот один пример:

где обозначает открытый интервал и обозначает закрытый интервал. Обозначим это множество. Тогда доступны следующие 14 наборов:${\displaystyle (1,2)}$${\displaystyle [4,5]}$${\displaystyle X}$

Несмотря на свое происхождение в контексте топологического пространства, проблема замыкания-дополнения Куратовского на самом деле является более алгебраической, чем топологической. С 1960 года появилось удивительное множество тесно связанных задач и результатов, многие из которых имеют мало или вообще никакого отношения к точечной топологии. ^[3]

---