Теорема Куроша о подгруппах

В математической области теории групп , в теореме Курош подгруппы описывает алгебраическую структуру подгрупп в свободных продукты из групп . Теорема была получена русским математиком Александром Курошем в 1934 году. ^[1] Неформально теорема гласит, что каждая подгруппа свободного произведения сама является свободным произведением свободной группы и ее пересечений с сопряженными множителями оригинальный бесплатный продукт.

История и обобщения [ править ]

После первоначального доказательства Куроша в 1934 году было много последующих доказательств теоремы Куроша о подгруппах, включая доказательства Гарольда В. Куна (1952), ^[2] Сондерса Мак Лейна (1958) ^[3] и других. Теорема была также обобщена для описания подгрупп объединенных свободных произведений и расширений HNN . ^{[4] [5]} Другие обобщения включают рассмотрение подгрупп свободных про-конечных произведений ^[6] и версию теоремы Куроша о подгруппах для топологических групп . ^[7]

Говоря современным языком, теорема Куроша о подгруппах является прямым следствием основных структурных результатов теории Басса – Серра о группах, действующих на деревьях . ^[8]

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть будет свободным произведением из групп А и В , и пусть будет подгруппа из G . Тогда существует семейство подгрупп , семейство подгрупп , семейств и элементов группы G и такое подмножество , что${\ displaystyle G = A * B}$${\ Displaystyle H \ leq G}$${\ displaystyle (A_ {я}) _ {я \ in I}}$${\ Displaystyle A_ {i} \ leq A}$${\ displaystyle (B_ {j}) _ {j \ in J}}$${\ Displaystyle B_ {j} \ leq B}$${\ displaystyle g_ {i}, я \ in I}$${\ displaystyle f_ {j}, j \ in J}$${\ Displaystyle X \ substeq G}$

${\ Displaystyle H = F (X) * (* _ {я \ in I} g_ {i} A_ {i} g_ {i} ^ {- 1}) * (* _ {j \ in J} f_ {j } B_ {j} f_ {j} ^ {- 1}).}$

Это означает, что X свободно порождает подгруппу группы G, изоморфную свободной группе F ( X ) со свободным базисом X, и, кроме того, g _i A _i g _i ⁻¹ , f _j B _j f _j ⁻¹ и X порождают H в G как бесплатный продукт вышеуказанной формы.

Это обобщение на случай бесплатных продуктов с произвольно большим количеством факторов. ^[9] Его формулировка:

Если H - подгруппа ∗ _i∈I G _i = G , то

${\ Displaystyle H = F (X) * (* _ {j \ in J} g_ {j} H_ {j} g_ {j} ^ {- 1}),}$

где X ⊆ G и J некоторое множество индексов и г _J ∈ G и каждый из Н _J является подгруппой некоторой G _я .

Доказательство с использованием теории Басса – Серра [ править ]

Теорема Куроша о подгруппах легко следует из основных структурных результатов теории Басса – Серра , как объяснено, например, в книге Коэна (1987): ^[8]

Пусть G = A ∗ B, и рассмотрим G как фундаментальную группу графа групп Y, состоящего из одного непетлевого ребра с группами вершин A и B и с тривиальной группой ребер. Пусть X является Басс-Серра универсального покрытия дерева для графа групп Y . Так как H ≤ G также действует на X , рассмотрим фактор - граф групп Z для действия H на X . Группы вершин Z являются подгруппами G-stabilizers вершин X , то есть, они сопряжены в G на подгруппы A и B . Группы ребер Z тривиальны, поскольку G- стабилизаторы ребер X были тривиальны. По основной теореме теории Басса-Серра, Н канонический изоморфна фундаментальной группы графа групп Z . Поскольку группы ребер Z тривиальны, H равна свободному произведению групп вершин Z и свободной группы F ( X) , Которая является фундаментальной группой (в стандартном топологическом смысле) базовый граф Z из Z . Отсюда следует заключение теоремы Куроша о подгруппах.

Расширение [ править ]

Результат распространяется на случай, когда G является объединенным продуктом по общей подгруппе C , при условии, что H встречает каждое сопряженное с C только в единичном элементе. ^[10]

См. Также [ править ]

• Расширение HNN
• Геометрическая теория групп

Ссылки [ править ]