В математике , теорема Лафорга в , из - за Лаффорг , завершает программу Ленглендса для общих линейных групп над полями алгебраическими функциями , путем предоставления соответствия между автоморфными формами на этих группы и представлениях групп Галуа .
Гипотезы Ленглендса были введены Ленглендсом ( 1967 , 1970 ) и описывают соответствие между представлениями группы Вейля поля алгебраических функций и представлениями алгебраических групп над полем функций, обобщая теорию полей классов функциональных полей от абелевых групп Галуа к неупорядоченным. -абелевы группы Галуа.
Гипотезы Ленглендса для GL 1
Гипотезы Ленглендса для GL 1 ( K ) вытекают из теории полей классов (и по существу эквивалентны ей) . Точнее, отображение Артина дает отображение группы классов идеелей на абелианизацию группы Вейля.
Автоморфные представления GL n ( F )
Представления GL n ( F ), входящие в соответствие Ленглендса, являются автоморфными представлениями.
Теорема Лафорга для GL n ( F )
Здесь F - глобальное поле некоторой положительной характеристики p , а ℓ - некоторое простое число, не равное p .
Теорема Лафорга утверждает, что существует биекция σ между:
- Классы эквивалентности каспидальных представлений π группы GL n ( F ) и
- Классы эквивалентности неприводимых ℓ-адических представлений σ (π) размерности n абсолютной группы Галуа группы F
который сохраняет L -функции в каждом месте F .
Доказательство теоремы Лафорга включает построение представления σ (π) абсолютной группы Галуа для каждого каспидального представления π. Идея сделать это смотреть в л-адических когомологий из модулей стека shtukas ранга п , которые имеют совместимый уровень N структур для всех N . Когомологии содержат подфакторы вида
- π⊗σ (π) ⊗σ (π) ∨
которое можно использовать для построения σ (π) из π. Основная проблема состоит в том, что набор модулей не имеет конечного типа, а это означает, что существуют огромные технические трудности при изучении его когомологий.
Приложения
Из теоремы Лафорга следует гипотеза Рамануджана – Петерссона о том, что если автоморфная форма для GL n ( F ) имеет центральный характер конечного порядка, то соответствующие собственные значения Гекке в каждом неразветвленном месте имеют абсолютное значение 1.
Из теоремы Лафорга следует гипотеза Делиня (1980 , 1.2.10) о том, что неприводимое конечномерное l -адическое представление абсолютной группы Галуа с детерминантным характером конечного порядка чисто с весом 0.
Смотрите также
Рекомендации
- Борель, Арманд (1979), "Автоморфные L-функции" , у Бореля, Арманд ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 27–61, ISBN 978-0-8218-1437-6, MR 0546608
- Делиня, Пьер (1980), "La гипотеза де Weil II" , Публикации Mathématiques де l'IHES , 52 (52): 137-252, DOI : 10.1007 / BF02684780 , ISSN 1618-1913 , MR 0601520 , S2CID 189769469
- Гельфанд И.М.; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, II (1969) [1966], Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, 6 , Филадельфия, Пенсильвания: WB Saunders Co., ISBN 978-0-12-279506-0, MR 0220673
- Lafforgue, Laurent (1998), "Chtoucas de Drinfeld et applications" [Drinfelʹd shtukas and applications], Documenta Mathematica (на французском языке), II : 563–570, ISSN 1431-0635 , MR 1648105
- Lafforgue, Laurent (2002), «Chtoucas de Drinfeld, формула следов Артура-Сельберга и корреспонденции Лангландса». (Дринфельд штукас, формула следа Артура-Сельберга и соответствие Ленглендса) Труды Международного конгресса математиков, Vol. I (Пекин, 2002), 383–400, высшее изд. Press, Пекин, 2002.
- Jacquet, H .; Лэнглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Лекционные заметки по математике, 114 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, Руководство по ремонту 0401654
- Ленглендс, Роберт (1967), письмо профессору Вейлю
- Langlands, RP (1970), "Проблемы теории автоморфных форм" , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Lecture Notes in Math, 170 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, Руководство по ремонту 0302614
- Жерар Лаумон (2002), «Работа Лорана Лафорга» , Труды ICM, Пекин 2002, т. 1, 91–97,
- Дж. Лаумон (2000), «Соответствие Ланглендса на основе корпуса функций (d'après Laurent Lafforgue)» (Соответствие Ленглендса по функциональным полям (по Лорану Лаффоргу)), Séminaire Bourbaki, 52e année, 1999–2000, нет. 873.
Внешние ссылки
- Публикации Лаффорга
- Работа Роберта Ленглендса
- Рапопорт, Работа Лорана Лафорга (PDF)