Поле алгебраических функций

В математике поле алгебраических функций (часто сокращенно называемое функциональным полем ) из n переменных над полем k является конечно порожденным расширением поля K / k, которое имеет степень трансцендентности n над k . ^[1] Эквивалентно, поле алгебраических функций от n переменных над k может быть определено как расширение конечного поля поля K = k ( x ₁ , ..., x _n )рациональные функции в п переменных над к .

Пример [ править ]

В качестве примера, в кольце полиномов к  [ X , Y ] рассмотрим идеал , порожденный неприводимым многочленом Y ²  -  Х ³ и образуют поле фракций в фактор - кольца к  [ Х , Y ] / ( Y ²  -  Х ³ ). Это функциональное поле одной переменной над k ; он также может быть записан как (со степенью 2 больше ) или как (со степенью 3 выше${\ Displaystyle к (Х) ({\ sqrt {X ^ {3}}})}$${\ Displaystyle к (Х)}$${\ Displaystyle к (Y) ({\ sqrt [{3}] {Y ^ {2}}})}$${\ Displaystyle к (Y)}$). Мы видим, что степень поля алгебраических функций не является четко определенным понятием.

Структура категорий [ править ]

Поля алгебраических функций над k образуют категорию ; в морфизмах из поля функций K до L являются кольцевыми гомоморфизмами F  :  K → L с F ( ) = для всех а в к . Все эти морфизмы инъективны . Если K - функциональное поле над k от n переменных, а L - функциональное поле от m переменных, и n > m, то морфизмов из K в L нет .

Функциональные поля, возникающие из многообразий, кривых и римановых поверхностей [ править ]

Поле функций алгебраического многообразия размерности п над к является алгебраическим полем функций п переменных над к . Два многообразия бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны. (Но обратите внимание, что неизоморфные многообразия могут иметь одно и то же функциональное поле!) Присвоение каждому многообразию его функционального поля дает двойственность (контравариантную эквивалентность) между категорией многообразий над k (с доминирующими рациональными отображениями как морфизмами) и категорией алгебраических функциональные поля над k. (Рассматриваемые здесь многообразия следует понимать в схемном смысле; они не обязательно должны иметь какие-либо k -рациональные точки, как кривая X ² + Y ² + 1 = 0, определенная над действительными числами , то есть с k = R. )

Случай n  = 1 (неприводимые алгебраические кривые в схемном смысле) особенно важен, поскольку каждое функциональное поле одной переменной над k возникает как функциональное поле однозначно определенной регулярной (т. Е. Неособой) проективной неприводимой алгебраической кривой над k . Фактически, функциональное поле порождает двойственность между категорией регулярных проективных неприводимых алгебраических кривых (с доминирующими регулярными отображениями как морфизмами) и категорией функциональных полей одной переменной над k .

Поле М ( Х ) из мероморфных функций , определенных на связной римановой поверхности X представляет собой поле функций одной переменной над комплексных чисел C . В самом деле, М дает двойственность (контравариантная эквивалентность) между категорией компактной связной римановой поверхностью (с непостоянными голоморфными отображениями в качестве морфизмов) и функциональных полей одной переменных над C . Аналогичное соответствие существует между компактной связной Клейн поверхностей и функциональных полей в одной переменной над R .

Числовые поля и конечные поля [ править ]

В аналогии функция поля утверждает , что почти все теоремы о числовых полей имеют аналогов на функциональных полей одной переменной над конечным полем , и эти коллеги часто легче доказать. (Например, см. Аналог для неприводимых многочленов над конечным полем .) В контексте этой аналогии числовые поля и функциональные поля над конечными полями обычно называются « глобальными полями ».

Изучение функциональных полей над конечным полем имеет приложения в криптографии и кодах с исправлением ошибок . Например, функциональное поле эллиптической кривой над конечным полем (важный математический инструмент для криптографии с открытым ключом ) является алгебраическим функциональным полем.

Функциональные поля над полем рациональных чисел также играют важную роль при решении обратных задач Галуа .

Поле констант [ править ]

Для любого поля алгебраических функций K над k мы можем рассмотреть множество элементов K, которые являются алгебраическими над k . Эти элементы образуют поле, известное как поле констант поля алгебраических функций.

Например, C ( x ) - это функциональное поле одной переменной над R ; его поле констант С .

Оценки и места [ править ]

Ключевыми инструментами для изучения полей алгебраических функций являются абсолютные значения, оценки, места и их дополнения.

Учитывая поле алгебраических функций К / к одной переменной, мы определим понятие кольца нормирования в К / к : это Подкольцо вывода из K , который содержит K , и отличается от к и К , и такое , что для любого х в К мы имеем х  ∈  O или х  ^-1  ∈  O . Каждое такое оценочное кольцо является дискретным оценочным кольцом, и его максимальный идеал называется местом в K/ к .

Дискретного нормирования из K / K является сюръективны функция v  : K → Z ∪ {∞} такое , что V (х) = ∞ тогда и только тогда х  = 0, V ( х ) = V ( х ) +  v ( у ) и v ( x  +  y ) ≥ min ( v ( x ), v ( y )) для всех x ,  y  ∈  K и v (a ) = 0 для всех a  ∈  k  \ {0}.

Между множеством колец оценки K / k , множеством мест K / k и множеством дискретных оценок K / k существуют естественные взаимно однозначные соответствия . Этим множествам можно придать естественную топологическую структуру: пространство Зарисского – Римана группы K / k . В случае , если к является алгебраически замкнутым , Зарискому-Римана пространство K / K является гладкой кривой над к и К является функцией поля этой кривой.

См. Также [ править ]

• функциональное поле алгебраического многообразия
• функциональное поле (теория схем)
• алгебраическая функция

Ссылки [ править ]