В физике твердого тела , то уравнение Ландау-Лифшиц ( ЛПЭ ), названный по имени Л. Д. Ландау и Лифшиц , представляет собой частичное дифференциальное уравнение , описывающее эволюцию во времени магнетизма в твердых телах, в зависимости от 1 временной переменной и 1, 2, или 3 пространственных переменных .
Уравнение Ландау – Лифшица.
LLE описывает анизотропный магнит. Уравнение описано в ( Фаддеев и Тахтаджан, 2007 , глава 8) следующим образом: Это уравнение для векторного поля S , другими словами, функция на R 1+ n, принимающая значения в R 3 . Уравнение зависит от фиксированной симметричной 3 на 3 матрицы J , обычно предполагаемой диагональной ; это,. Он задается уравнением движения Гамильтона для гамильтониана
(где J ( S ) - квадратичная форма J, примененная к вектору S ), который равен
В измерениях 1 + 1 это уравнение имеет вид
В 2 + 1 измерениях это уравнение принимает вид
которая является (2 + 1) -мерной LLE. Для (3 + 1) -мерного случая LLE имеет вид
Интегрируемые сокращения
В общем случае LLE (2) не интегрируется. Но он допускает две интегрируемые редукции:
- а) в размерности 1 + 1, то есть уравнение. (3) интегрируемо
- б) когда . В этом случае (1 + 1) -мерная LLE (3) превращается в непрерывное классическое уравнение ферромагнетика Гейзенберга (см., Например, модель Гейзенберга (классическая) ), которое уже является интегрируемым.
Смотрите также
Рекомендации
- Фаддеев, Людвиг Д .; Тахтаджан, Леон А. (2007), Гамильтоновы методы в теории солитонов , Классика в математике, Берлин: Springer, стр. X + 592, DOI : 10.1007 / 978-3-540-69969-9 , ISBN 978-3-540-69843-2, MR 2348643
- Го, Болинг; Дин, Шицзинь (2008), Уравнения Ландау-Лифшица , Границы исследований с Китайской академией наук, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
- Косевич А.М. , Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагничивания. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка , 1988. - 192 с.