Классическая модель Гейзенберга

Классическая Гейзенберга модель является случаем п-векторной модели , одной из моделей , используемых в статистической физике для модели ферромагнетизма и других явлений. ${\ displaystyle n = 3}$

Определение [ править ]

Его можно сформулировать так: возьмем d-мерную решетку и набор спинов единичной длины

{\vec {s}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3},|{\vec {s}}_{i}|=1\quad (1)

,

каждый размещен на узле решетки.

Модель определяется через следующий гамильтониан :

{\mathcal {H}}=-\sum _{i,j}{\mathcal {J}}_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}\quad (2)

с участием

{\mathcal {J}}_{ij}={\begin{cases}J&{\mbox{if }}i,j{\mbox{ are neighbors}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}

связь между спинами.

Общий математический формализм, используемый для описания и решения модели Гейзенберга, и некоторые обобщения развит в статье о модели Поттса .
В континуальном пределе модель Гейзенберга (2) дает следующее уравнение движения

{\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.

Это уравнение называется непрерывным классическим уравнением ферромагнетика Гейзенберга или сокращенно моделью Гейзенберга и является интегрируемым в смысле теории солитонов. Она допускает несколько интегрируемого и неинтегрируемое обобщение как уравнения Ландау-Лифшиц , уравнение Ишимори и так далее.

В случае дальнодействия, термодинамический предел хорошо определен, если ; намагниченность остается нулевой, если ; но намагниченность положительная при достаточно низкой температуре, если (в инфракрасных пределах). $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ $\alpha >1$ $\alpha \geq 2$ $1<\alpha <2$
Как и в любой n-векторной модели «ближайшего соседа» со свободными граничными условиями, если внешнее поле равно нулю, существует простое точное решение.

В случае дальнодействующего взаимодействия термодинамический предел хорошо определен, если ; намагниченность остается нулевой, если ; но намагниченность положительна при достаточно низкой температуре, если (инфракрасные границы). $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ $\alpha >2$ $\alpha \geq 4$ $2<\alpha <4$
Поляков предположил, что, в отличие от классической XY-модели , дипольной фазы не существует ; то есть при ненулевой температуре корреляции срастаются экспоненциально быстро. ^[1] $T>0$

Независимо от диапазона взаимодействия при достаточно низкой температуре намагниченность положительна.

Предположительно, в каждом из низкотемпературных экстремальных состояний усеченные корреляции затухают алгебраически.

↑ Поляков, AM (1975). «Взаимодействие частиц голдстоуна в двух измерениях. Приложения к ферромагнетикам и массивным полям Янга-Миллса». Phys. Lett . В 59 (1): 79–81. Полномочный код : 1975ФЛБ ... 59 ... 79П . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (75) 90161-6 .

Отсутствие ферромагнетизма или антиферромагнетизма в одномерных или двумерных изотропных моделях Гейзенберга
Модель Гейзенберга - библиография
Моделирование методом Монте-Карло моделей Гейзенберга, XY и Изинга с трехмерной графикой (требуется браузер, совместимый с WebGL)