n -векторная модель

В статистической механики , то п модель -векторных или О ( п ) модель представляет собой простую систему взаимодействующих спинов на кристаллической решетке . Она была разработана Н. Евгений Стэнли как обобщение модели Изинга , модели XY и модели Гейзенберга . ^[1] В n -векторной модели n -компонентные классические спины единичной длины размещаются в вершинах d -мерной решетки. Гамильтонова из п ${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {я}}$-векторная модель задается:

${\ displaystyle H = -J {\ sum} _ {\ langle i, j \ rangle} \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j}}$

где сумма проходит по всем парам соседних спинов и обозначает стандартный евклидов скалярный продукт. Частными случаями n -векторной модели являются:${\ displaystyle \ langle i, j \ rangle}$${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle n = 0}$: Прогулка, позволяющая избежать самозащиты ^{[2] [3]}

${\ Displaystyle п = 1}$: Модель Изинга

${\ displaystyle n = 2}$: Модель XY

${\ displaystyle n = 3}$: Модель Гейзенберга

${\ displaystyle n = 4}$: Игрушка модель для сектора Хиггса в Стандартной модели

Общий математический аппарат, используемый для описания и решения n -векторной модели, и некоторые обобщения развиты в статье о модели Поттса .

Предел континуума [ править ]

Континуальный предел можно понимать как сигма-модель . Это легко получить, записав гамильтониан в терминах произведения

${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-1}$

где - термин «объемная намагниченность». Если отбросить этот член как общий постоянный множитель, добавленный к энергии, предел получается путем определения конечной разности Ньютона как ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1}$

${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}}$

на соседних участках решетки Тогда в пределе , где - градиент в направлении. Таким образом, в пределе${\displaystyle i,j.}$${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle \nabla _{\mu }}$${\displaystyle (i,j)\to \mu }$

${\displaystyle -\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2}}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$

которую можно распознать как кинетическую энергию поля в сигма-модели . У одного по-прежнему есть две возможности для вращения : оно либо берется из дискретного набора спинов ( модель Поттса ), либо оно принимается как точка на сфере ; то есть является вектором с непрерывными значениями единичной длины. В последнем случае это называется нелинейной сигма - модель, так как группа вращений является группа изометрий из , и , очевидно, не является «плоским», т.е. не является линейным полем .${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$

Ссылки [ править ]