Классическая модель XY

Классическая модель XY (иногда также называемый классический ротор ( вращатель ) модель или O (2) модель ) является решеткой модели из статистической механики . В общем, XY-модель можно рассматривать как специализацию n -векторной модели Стэнли ^[1] для n = 2 .

Определение [ править ]

Для D -мерной решетки Λ на каждый узел j ∈ Λ приходится двумерный вектор единичной длины s _j = (cos θ _j , sin θ _j )

Конфигурации спины , ев = ( ев _J ) _{J ∈ Л} является заданием угла - л < θ _J & le ; л для каждого J ∈ Л .

Учитывая трансляционно-инвариантное взаимодействие J _ij = J ( i - j ) и точечно-зависимое внешнее поле , конфигурационная энергия равна${\ displaystyle \ mathbf {h} _ {j} = (h_ {j}, 0)}$

${\ displaystyle H (\ mathbf {s}) = - \ sum _ {i \ neq j} J_ {ij} \; \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} - \ сумма _ {j} \ mathbf {h} _ {j} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} = - \ sum _ {i \ neq j} J_ {ij} \; \ cos (\ theta _ {i } - \ theta _ {j}) - \ sum _ {j} h_ {j} \ cos \ theta _ {j}}$

Случай, когда J _ij = 0, за исключением ближайшего соседа ij , называется случаем ближайшего соседа .

Вероятность конфигурации задается распределением Больцмана с обратной температурой р ≥ 0 :

${\ Displaystyle P (\ mathbf {s}) = {\ frac {e ^ {- \ beta H (\ mathbf {s})}} {Z}} \ qquad Z = \ int _ {[- \ pi, \ pi] ^ {\ Lambda}} \ prod _ {j \ in \ Lambda} d \ theta _ {j} \; e ^ {- \ beta H (\ mathbf {s})}.}.$

где Z - нормализация или статистическая сумма . ^[2] Обозначение указывает на ожидание случайной величины A ( s ) в пределе бесконечного объема после наложения периодических граничных условий .${\ Displaystyle \ langle А (\ mathbf {s}) \ rangle}$

Строгие результаты [ править ]

• Существование термодинамического предела для свободной энергии и спиновых корреляций было доказано Жинибром , распространив на этот случай неравенство Гриффитса . ^[3]
• Используя неравенство Griffiths в формулировке Жинибра, Айзенман и Саймон ^[4] доказали , что две точки спиновой корреляция ферромагнетиков модели XY в размерности D , муфта J > 0 и обратную температура & beta ; является преимуществом с (т.е. имеет верхнюю границу дается посредством) двухточечной корреляции ферромагнитной модели Изинга в размерности D , связи J > 0 и обратной температурыβ/2

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} \ rangle _ {J, 2 \ beta} \ leq \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j } \ rangle _ {J, \ beta}}$

Следовательно, критическое β модели XY не может быть меньше, чем удвоенная критическая температура модели Изинга.

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}}$

Одно измерение [ править ]

Как и в любой n -векторной модели «ближайшего соседа» со свободными (непериодическими) граничными условиями, если внешнее поле равно нулю, существует простое точное решение. В случае свободных граничных условий гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$

поэтому статистическая сумма факторизуется при изменении координат

${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}'+\theta _{j-1}\qquad j\geq 2}$

Это дает

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}}$

где - модифицированная функция Бесселя первого рода. Статистическая сумма может использоваться для нахождения нескольких важных термодинамических величин. Например, в термодинамическом пределе ( ) свободная энергия на спин равна${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle L\to \infty }$

${\displaystyle f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]}$

Используя свойства модифицированных функций Бесселя, удельную теплоемкость (на спин) можно выразить как ^[5]

${\displaystyle {\frac {c}{k_{\rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right)}$

где , - короткодействующая корреляционная функция, ${\displaystyle K=J/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \mu }$

Точная удельная теплоемкость на спин в одномерной XY-модели

${\displaystyle \mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$

Даже в термодинамическом пределе нет расхождения в теплоемкости. Действительно, как и одномерная модель Изинга, одномерная XY-модель не имеет фазовых переходов при конечной температуре.

То же самое вычисление для периодического граничного условия (и все еще h = 0 ) требует формализма матрицы переноса , хотя результат тот же. ^[6] .

(Щелкните "показать" справа, чтобы просмотреть подробные сведения о формализме матрицы передачи.)

Статистическая сумма может быть оценена как

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}}$

который можно рассматривать как след матрицы, а именно произведение матриц (в данном случае скаляров). След матрицы - это просто сумма ее собственных значений, и в термодинамическом пределе выживет только наибольшее собственное значение, поэтому статистическую сумму можно записать как повторяющееся произведение этого максимального собственного значения. Это требует решения проблемы собственных значений${\displaystyle L\to \infty }$

${\displaystyle \oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta )}$

Обратите внимание на расширение

${\displaystyle \exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )}$

которая представляет собой диагональное матричное представление в основе собственных функций плоских волн . Собственные значения матрицы просто являются модифицированными функциями Бесселя, вычисленными в , а именно . Для любого конкретного значения эти модифицированные функции Бесселя удовлетворяют и . Следовательно, в термодинамическом пределе собственное значение будет преобладать над следом, и так далее .${\displaystyle \psi =\exp(in\theta )}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle \omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots }$${\displaystyle I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}}$

Такой подход матрицы переноса также требуется при использовании свободных граничных условий, но с приложенным полем . Если приложенное поле достаточно мало, чтобы его можно было рассматривать как возмущение системы в нулевом поле, то можно оценить магнитную восприимчивость . Это делается путем использования собственных состояний, вычисленных с помощью подхода матрицы переноса, и вычисления сдвига энергии с помощью теории возмущений второго порядка , а затем сравнения с разложением по свободной энергии . Находят ^[7]${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \chi \equiv \partial M/\partial h}$${\displaystyle F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$

${\displaystyle \chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }}}$

где - постоянная Кюри (значение, обычно связанное с восприимчивостью магнитных материалов). Это выражение справедливо и для одномерной модели Изинга с заменой .${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu =\tanh K}$

Два измерения [ править ]

Двумерная XY-модель с взаимодействиями ближайших соседей является примером двумерной системы с непрерывной симметрией, которая не имеет дальнего порядка, как того требует теорема Мермина – Вагнера . Точно так же нет обычного фазового перехода, который был бы связан с нарушением симметрии . Однако, как будет обсуждаться позже, система действительно показывает признаки перехода из неупорядоченного высокотемпературного состояния в квазиупорядоченное состояние ниже некоторой критической температуры, называемого переходом Костерлица-Таулеса.. В случае дискретной решетки спинов, двумерная XY-модель может быть оценена с использованием подхода матрицы переноса, сводя модель к задаче на собственные значения и используя наибольшее собственное значение из матрицы переноса. Хотя точное решение трудно найти, можно использовать определенные приближения, чтобы получить оценки критической температуры, которая возникает при низких температурах. Например, Маттис (1984) использовал приближение к этой модели, чтобы оценить критическую температуру системы как${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle (2k_{\rm {B}}T_{c}/J)\ln(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)=1}$

${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.8816}$

Двухмерная XY-модель также была детально изучена с использованием моделирования Монте-Карло , например, с помощью алгоритма Метрополиса . Их можно использовать для вычисления термодинамических величин, таких как энергия системы, удельная теплоемкость, намагниченность и т. Д., В диапазоне температур и временных масштабов. В моделировании Монте-Карло каждый спин связан с непрерывно изменяющимся углом (часто его можно дискретизировать на конечное число углов, как в связанной модели Поттса , для простоты вычислений. Однако это не является обязательным требованием). На каждом временном шаге алгоритм Метрополиса выбирает одно вращение случайным образом и поворачивает его угол на некоторый случайный шаг . Это изменение угла вызывает изменение энергии${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )}$${\displaystyle \Delta E_{i}}$системы, которая может быть положительной или отрицательной. Если отрицательный, алгоритм принимает изменение угла; если положительный, конфигурация принимается с вероятностью , фактор Больцмана для изменения энергии. Для проверки критической температуры системы различными методами использовался метод Монте-Карло, который оценивается в ^[9] . Метод Монте-Карло также может вычислять средние значения, которые используются для вычисления термодинамических величин, таких как намагниченность, спин-спиновая корреляция, длины корреляции и удельная теплоемкость. Это важные способы охарактеризовать поведение системы вблизи критической температуры. Например, намагниченность и квадрат намагниченности можно вычислить как ${\displaystyle e^{-\beta \Delta E_{i}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J=0.8935(1)}$

Удельная теплоемкость двумерного XY с использованием моделирования Монте-Карло, показывающая особенность в точке над переходом KT${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J\approx 1.1}$

${\displaystyle {\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}{\Bigg |}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle {\Bigg |}}$

${\displaystyle {\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$

где количество вращений. Средняя намагниченность характеризует величину чистого магнитного момента системы; во многих магнитных системах она равна нулю выше критической температуры и самопроизвольно становится ненулевой при низких температурах. Точно так же среднеквадратичная намагниченность характеризует среднее значение квадрата чистых компонентов спинов по решетке. Любой из них обычно используется для характеристики параметра порядка системы. Строгий анализ модели XY показывает, что намагниченность в термодинамическом пределе равна нулю, и что квадрат намагниченности приблизительно следует ^[10]${\displaystyle N=L\times L}$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }}$, которая обращается в нуль в термодинамическом пределе. Действительно, при высоких температурах эта величина приближается к нулю, поскольку компоненты спинов будут иметь тенденцию быть случайными и, следовательно, их сумма будет равна нулю. Однако при низких температурах для конечной системы среднеквадратичная намагниченность увеличивается, что свидетельствует о наличии областей спинового пространства, которые выровнены, чтобы вносить ненулевой вклад. Показанная намагниченность (для решетки 25x25) является одним из примеров этого, который, по-видимому, предполагает фазовый переход, в то время как такой переход не существует в термодинамическом пределе.

Кроме того, используя статистическую механику, можно связать средние термодинамические величины с такими величинами, как удельная теплоемкость, вычисляя

${\displaystyle c/k_{\rm {B}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}}$

Удельная теплоемкость показана при низких температурах, близких к критической . В удельной теплоемкости нет характеристики, согласующейся с критической характеристикой (например, дивергенцией) при этой прогнозируемой температуре. Действительно, оценка критической температуры исходит из других методов, таких как модуль спиральности или температурная зависимость расходимости восприимчивости. ^[11] Однако есть особенность в теплоемкости в виде пика вблизи . Было показано, что это положение пика и высота пика зависят от размера системы; ^[12], однако, эта особенность остается конечной для всех размеров решетки и, похоже, сходится к конечному значению (хотя не исключено, что особенность является куспидом, это маловероятно). ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.88}$${\displaystyle 1.1k_{\rm {B}}T/J}$

Природу критических переходов и образования вихрей можно выяснить, рассмотрев непрерывную версию XY-модели. Здесь дискретные спины заменены полем, представляющим угол вращения в любой точке пространства. В этом случае угол вращения должен плавно изменяться при изменении положения. Разложив исходный косинус в ряд Тейлора, гамильтониан можно выразить в приближении континуума как ${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$

${\displaystyle E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}{\textbf {x}}}$

Цветовая карта (дискретной) двумерной XY-модели в решетке 250x250 в . Каждое вращение представлено цветом, соответствующим углу между${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J=0.4}$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Непрерывная версия XY-модели часто используется для моделирования систем, которые обладают параметрами порядка с одинаковыми видами симметрии, например, сверхтекучий гелий , гексатические жидкие кристаллы . Это отличает их от других фазовых переходов, которые всегда сопровождаются нарушением симметрии. Топологические дефекты в XY-модели приводят к развязывающему вихрь переходу из низкотемпературной фазы в высокотемпературную неупорядоченную фазу . Действительно, тот факт, что при высоких температурах корреляции затухают экспоненциально быстро, а при низких температурах затухают по степенному закону, даже если в обоих режимах M ( β ) = 0 , называется переходом Костерлица – Таулеса.. Костерлиц и Таулесс представили простой аргумент, почему это могло быть так: это рассматривает основное состояние, состоящее из всех спинов с одинаковой ориентацией, с добавлением затем одного вихря. Их присутствие дает примерно энтропию , где - эффективный масштаб длины (например, размер решетки для дискретной решетки). Между тем, энергия системы увеличивается из-за вихря на определенную величину . Если сложить все вместе, свободная энергия системы изменится из-за спонтанного образования вихря на величину${\displaystyle \Delta S=k_{\rm {B}}\ln(L^{2}/a^{2})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Delta E=\pi J\ln(L/a)}$

${\displaystyle \Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{\rm {B}}T)\ln(L/a)}$

В термодинамическом пределе система не способствует образованию вихрей при низких температурах, но поддерживает их при высоких температурах, превышающих критическую температуру . Это указывает на то, что при низких температурах любые возникающие вихри будут стремиться аннигилировать с антивихрями, чтобы снизить энергию системы. Действительно, качественно это будет иметь место, если наблюдать «снимки» спиновой системы при низких температурах, когда вихри и антивихри постепенно объединяются и аннигилируют. Таким образом, низкотемпературное состояние будет состоять из связанных пар вихрь-антивихрь. Между тем при высоких температурах будет набор несвязанных вихрей и антивихрей, которые могут свободно перемещаться по плоскости.${\displaystyle T_{c}=\pi J/2k_{\rm {B}}}$

Для визуализации модели Изинга можно использовать стрелку, указывающую вверх или вниз, или представить ее в виде точки, окрашенной в черный / белый цвет, чтобы указать ее состояние. Чтобы визуализировать систему вращения XY, вращения можно представить в виде стрелки, указывающей в каком-либо направлении, или в виде точки с некоторым цветом. Здесь необходимо представить спин со спектром цветов, обусловленным каждой из возможных непрерывных переменных. Это можно сделать, используя, например, непрерывный и периодический красный-зеленый-синий спектр. Как показано на рисунке, голубой соответствует нулевому углу (указывает вправо), а красный соответствует углу 180 градусов (указывает влево). Затем можно изучить снимки спиновых конфигураций при разных температурах, чтобы выяснить, что происходит выше и ниже критической температуры XY-модели. При высоких температурахспины не будут иметь предпочтительной ориентации, и будет происходить непредсказуемое изменение углов между соседними спинами, так как не будет предпочтительной энергетически выгодной конфигурации. В этом случае цветовая карта будет выглядеть сильно пиксельной. Между тем при низких температурах одна возможная конфигурация основного состояния имеет все спины, направленные в одну и ту же ориентацию (один и тот же угол); они будут соответствовать областям (доменам) цветовой карты, где все спины имеют примерно одинаковый цвет.они будут соответствовать областям (доменам) цветовой карты, где все спины имеют примерно одинаковый цвет.они будут соответствовать областям (доменам) цветовой карты, где все спины имеют примерно одинаковый цвет.

Различные формы вихрей и антивихрей, показанные в моделировании Монте-Карло на ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J=0.4}$

Чтобы идентифицировать вихри (или антивихри), присутствующие в результате перехода Костерлица – Таулеса, можно определить изменение угла со знаком, пройдя круг из точек решетки против часовой стрелки. Если полное изменение угла равно нулю, это соответствует отсутствию вихря; тогда как полное изменение угла${\displaystyle \pm 2\pi }$соответствует вихрю (или антивихрю). Эти вихри являются топологически нетривиальными объектами, которые входят в пары вихрь-антивихрь, которые могут разделяться или парно-аннигилировать. На палитре эти дефекты можно идентифицировать в областях с большим цветовым градиентом, где все цвета спектра встречаются вокруг точки. Качественно эти дефекты могут выглядеть как источники потока, направленные внутрь или наружу, или как водовороты вращений, которые все вместе вращаются по часовой стрелке или против часовой стрелки, или как объекты гиперболического вида с некоторыми вращениями, направленными в сторону дефекта, и некоторыми вращениями, направленными от него. Поскольку конфигурация изучается на больших временных масштабах и при низких температурах, наблюдается, что многие из этих пар вихрь-антивихрь сближаются и в конечном итоге пары аннигилируют.Только при высоких температурах эти вихри и антивихри высвобождаются и развязываются друг с другом.

В непрерывной XY-модели высокотемпературная спонтанная намагниченность исчезает:

${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$

Кроме того, расширение кластера показывает, что спиновые корреляции кластеризуются экспоненциально быстро: например

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$

При низких температурах, т.е. β ≫ 1 , спонтанная намагниченность остается нулевой (см. Теорему Мермина – Вагнера ),

${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$

но затухание корреляций происходит только по степенному закону: Фрёлих и Спенсер ^[13] нашли нижнюю границу

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\geq {\frac {C(\beta )}{1+|i-j|^{\eta (\beta )}}}}$

в то время как Макбрайан и Спенсер нашли верхнюю границу для любых ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq {\frac {C(\beta ,\epsilon )}{1+|i-j|^{\eta (\beta ,\epsilon )}}}}$

Три и выше измерения [ править ]

Независимо от диапазона взаимодействия при достаточно низкой температуре намагниченность положительна.

• При высокой температуре спонтанная намагниченность равна нулю: . Кроме того, расширение кластера показывает, что спиновые корреляции кластеры экспоненциально быстро: например .${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$

• При низкой температуре, инфракрасный переплетенных показывает , что спонтанная намагниченность строго положительна: . Кроме того, существует однопараметрическое семейство экстремальных состояний, такое, что, но, предположительно, в каждом из этих экстремальных состояний усеченные корреляции затухают алгебраически.${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |>0}$${\displaystyle \langle \;\cdot \;\rangle ^{\theta }}$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\rangle ^{\theta }=M(\beta )(\cos \theta ,\sin \theta )}$

Фазовый переход [ править ]

Как упоминалось выше, в одном измерении XY-модель не имеет фазового перехода, в то время как в двух измерениях она имеет переход Березинского-Костерлица-Таулеса между фазами с экспоненциально и степенно убывающими корреляционными функциями.

В трех и более измерениях XY-модель имеет фазовый переход ферромагнетик-парамагнетик. При низких температурах спонтанная намагниченность отлична от нуля: это ферромагнитная фаза. С повышением температуры спонтанная намагниченность постепенно уменьшается и исчезает при критической температуре. Он остается нулевым при всех более высоких температурах: это парамагнитная фаза.

В четырех и более измерениях фазовый переход имеет критические показатели среднего поля (с логарифмическими поправками в четырех измерениях).

Трехмерный случай: критические показатели [ править ]

Трехмерный случай интересен тем, что критические показатели при фазовом переходе нетривиальны. Многие трехмерные физические системы принадлежат к тому же классу универсальности, что и трехмерная XY-модель, и имеют одни и те же критические показатели, в первую очередь магниты с легкой плоскостью и жидкий гелий-4 . Значения этих критических показателей измеряются с помощью экспериментов, моделирования методом Монте-Карло, а также могут быть вычислены с помощью теоретических методов квантовой теории поля, таких как ренормализационная группа и конформный бутстрап.. Методы ренормгруппы применимы, потому что считается, что критическая точка модели XY описывается фиксированной точкой ренормгруппы. Методы конформного бутстрапа применимы, потому что они также считаются унитарной трехмерной конформной теорией поля .

Наиболее важными критическими показателями трехмерной модели XY являются . Все они выражаются всего двумя числами: масштабными размерностями и комплексным полем параметра порядка и ведущим синглетным оператором (как в описании Гинзбурга – Ландау ). Еще одно важное поле (такое же, как ), размерность которого определяет показатель масштабирования поправки . Согласно расчетам конформного бутстрапа, ^[14] эти три измерения задаются следующим образом: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\beta ,\delta ,\nu ,\eta }$${\displaystyle \Delta _{\phi }}$${\displaystyle \Delta _{s}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle |\phi |^{2}}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle |\phi |^{4}}$${\displaystyle \Delta _{s'}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Delta _{\phi }}$	0,519088 (22)
${\displaystyle \Delta _{s}}$	1,51136 (22)
${\displaystyle \Delta _{s'}}$	3,794 (8)

Это дает следующие значения критических показателей:

	общее выражение ( )${\displaystyle d=3}$	численная величина
α	${\displaystyle 2-d/(d-\Delta _{s})}$	-0,01526 (30)
β	${\displaystyle \Delta _{\phi }/(d-\Delta _{s})}$	0,34869 (7)
γ	${\displaystyle (d-2\Delta _{\phi })/(d-\Delta _{s})}$	1,3179 (2)
δ	${\displaystyle (d-\Delta _{\phi })/\Delta _{\phi }}$	4,77937 (25)
η	${\displaystyle 2\Delta _{\phi }-d+2}$	0,038176 (44)
ν	${\displaystyle 1/(d-\Delta _{s})}$	0,67175 (10)
ω	${\displaystyle \Delta _{s'}-d}$	0,794 (8)

Методы Монте-Карло дают совместимые определения: ^[15] . ${\displaystyle \eta =0.03810(8),\nu =0.67169(7),\omega =0.789(4)}$

См. Также [ править ]

• Классическая модель Гейзенберга
• Бозон Голдстоуна
• Модель Изинга
• Модель Поттса
• n- векторная модель
• Переход Костерлица – Таулеса
• Топологический дефект
• Сверхтекучая пленка
• Сигма модель

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Евгений Демидов, Вихри в XY-модели (2004)

Дальнейшее чтение [ править ]

• Его Превосходительство Стэнли, Введение в фазовые переходы и критические явления , (Oxford University Press, Oxford and New York, 1971);
• Х. Кляйнерт , Калибровочные поля в конденсированных средах , Vol. I, «СУПЕРПОТОК И ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ», стр. 1–742, Vol. II, «НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФЕКТЫ», стр. 743–1456, World Scientific (Сингапур, 1989) ; ISBN в мягкой обложке 9971-5-0210-0 (также доступно в Интернете: том I и том II ) 

Внешние ссылки [ править ]

• XY-модель в реальном времени WebGL-симуляция
• Интерактивное моделирование методом Монте-Карло моделей Изинга, XY и Гейзенберга с трехмерной графикой (требуется браузер, совместимый с WebGL)