Неравенство гриффитса

В статистической механике , то неравенство Гриффитс , иногда также называется неравенство Гриффитс-Келли-Шерман или неравенство ГКС , названный в честь Роберта Б. Гриффитс , является корреляция неравенства для ферромагнитных спиновых систем. Неформально он говорит, что в ферромагнитных спиновых системах, если «априорное распределение» спина инвариантно относительно переворота спина, корреляция любого монома спинов неотрицательна; а двухточечная корреляция двух одночленов спинов неотрицательна.

Неравенство было доказано Гриффитсом для ферромагнетиков Изинга с двухчастичными взаимодействиями ^[1], затем обобщено Келли и Шерманом на взаимодействия с произвольным числом спинов ^[2], а затем Гриффитсом на системы с произвольными спинами. ^[3] Более общая формулировка была дана Жинибром , ^[4] и в настоящее время называется неравенство Жинибра .

Определения [ править ]

Пусть - конфигурация спинов (непрерывных или дискретных) на решетке Λ . Если ⊂ Л список узлов решетки, возможно , с дубликатами, пусть произведение спинов в A .${\ displaystyle \ textstyle \ sigma = \ {\ sigma _ {j} \} _ {j \ in \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {A} = \ prod _ {j \ in A} \ sigma _ {j}}$

Назначить спинам априорную меру dµ (σ) ; пусть H - энергетический функционал вида

${\ Displaystyle H (\ sigma) = - \ sum _ {A} J_ {A} \ sigma _ {A} ~,}$

где сумма берется по спискам сайтов A , и пусть

${\ Displaystyle Z = \ int d \ mu (\ sigma) e ^ {- H (\ sigma)}}$

- статистическая сумма . По-прежнему,

${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle = {\ frac {1} {Z}} \ sum _ {\ sigma} \ cdot (\ sigma) e ^ {- H (\ sigma)}}$

обозначает средний ансамбль .

Система называется ферромагнитным , если для любого списка сайтов , J _A ≥ 0 . Система называется инвариантной относительно переворота спина, если для любого j из Λ мера μ сохраняется при отображении смены знака σ → τ , где

${\ displaystyle \ tau _ {k} = {\ begin {cases} \ sigma _ {k}, & k \ neq j, \\ - \ sigma _ {k}, & k = j. \ end {cases}}}$

Заявление о неравенствах [ править ]

Неравенство Ферста Гриффитса [ править ]

В ферромагнитной спиновой системе, инвариантной относительно переворота спина,

${\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {A} \ rangle \ geq 0}$

для любого списка спинов А .

Второе неравенство Гриффитса [ править ]

В ферромагнитной спиновой системе, инвариантной относительно переворота спина,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle }$

для любых списков спинов A и B .

Первое неравенство является частным случаем второго, соответствующего B = ∅.

Доказательство [ править ]

Обратите внимание, что статистическая сумма неотрицательна по определению.

Доказательство первого неравенства : развернуть

${\displaystyle e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+n_{B}(j)}~,\end{aligned}}}$

где п (J) обозначает число раз , что J появляется в A . Теперь, благодаря инвариантности относительно переворота спина,

${\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}$

если хотя бы одно n (j) нечетное, и это же выражение, очевидно, неотрицательно для четных значений n . Следовательно, Z < σ _A > ≥0, а значит, и < σ _A > ≥0.

Доказательство второго неравенства . Для второго неравенства Гриффитса удвойте случайную величину, т. Е. Рассмотрите вторую копию спина с тем же распределением . потом${\displaystyle \sigma '}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

Представьте новые переменные

${\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.}$

Удвоенная система ферромагнитна в, потому что является полиномом от с положительными коэффициентами${\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle }$${\displaystyle \tau ,\tau '}$${\displaystyle -H(\sigma )-H(\sigma ')}$${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}$

Кроме того, мера on инвариантна относительно переворота спина, поскольку есть Наконец, одночлены , суть многочлены от с положительными коэффициентами${\displaystyle \tau ,\tau '}$${\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}$${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}$${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}$

Первое неравенство Гриффитса, примененное к, дает результат.${\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }$

Подробнее в ^[5] и. ^[6]

Расширение: неравенство Жинибре [ править ]

Неравенство Жинибра является расширением, нашел Жан Жинибра, ^[4] неравенства Гриффитса.

Формулировка [ править ]

Пусть (Γ,  μ ) - вероятностное пространство . Для функций f ,  h на Γ обозначим

${\displaystyle \langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Пусть A - набор вещественных функций на Γ такой, что. для любых f ₁ , f ₂ , ..., f _n в A и любого выбора знаков ±,

${\displaystyle \iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}$

Тогда для любых f , g , - h в выпуклом конусе, порожденном A ,

${\displaystyle \langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.}$

Доказательство [ править ]

Позволять

${\displaystyle Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Теперь неравенство следует из предположения и тождества

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).}$

Примеры [ править ]

• Чтобы восстановить (второе) неравенство Гриффитса, возьмем Γ = {−1, +1} ^Λ , где Λ - решетка, и пусть μ - мера на Γ, инвариантная относительно смены знака. Конус многочленов A с положительными коэффициентами удовлетворяет условиям неравенства Жинибра.
• (Γ,  μ ) - коммутативная компактная группа с мерой Хаара , A - конус вещественных положительно определенных функций на Γ.
• Γ - вполне упорядоченное множество , A - конус вещественных положительных неубывающих функций на Γ. Это дает неравенство сумм Чебышева . О расширении до частично упорядоченных множеств см. Неравенство FKG .

Приложения [ править ]

• Термодинамический предел корреляций ферромагнитной модели Изинга (с неотрицательной внешним полем ч и свободные граничными условиями) существует.

Это потому , что увеличение объема так же , как включение новых муфт J _B для некоторого подмножества B . По второму неравенству Гриффитса

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}$

Следовательно , монотонно увеличивается с увеличением объема; то он сходится, так как ограничен единицей.${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$

• Одномерная ферромагнитная модель Изинга со взаимодействиями демонстрирует фазовый переход, если .${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$${\displaystyle 1<\alpha <2}$

Это свойство может быть показано в иерархическом приближении, которое отличается от полной модели отсутствием некоторых взаимодействий: рассуждая, как указано выше, со вторым неравенством Гриффитса, результаты переносятся на всю модель. ^[7]

• Неравенство Жинибре обеспечивает существование термодинамического предела для свободной энергии и спиновых корреляций для двумерной классической XY-модели . ^[4] Кроме того, с помощью неравенства Жинибра Кунц и Пфистер доказали наличие фазового перехода для ферромагнитной XY-модели с взаимодействием, если .${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$${\displaystyle 2<\alpha <4}$
• Айзенман и Саймон ^[8] использовали неравенство Жинибра , чтобы доказать , что две точки спиновой корреляции ферромагнитной классической модели XY в размерности , сцепление и обратная температура является преимуществом с (т.е. имеет верхнюю границы определяется) два точки корреляции ферромагнитного Изинга модель по размерности , связи и обратной температуре${\displaystyle D}$${\displaystyle J>0}$${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle J>0}$${\displaystyle \beta /2}$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

Следовательно, критическая температура модели XY не может быть меньше, чем удвоенная критическая температура модели Изинга.${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}$

в размерности D = 2 и связи J = 1 это дает

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}$

• Существует вариант неравенства Жинибре для кулоновского газа , предполагающий наличие термодинамического предела корреляций. ^[9]
• Другие приложения (фазовые переходы в спиновых системах, XY-модель, XYZ-квантовая цепочка) рассмотрены в ^[10].

Ссылки [ править ]