Трансферно-матричный метод

В статистической механике метод трансфер-матрицы - это математический прием, который используется для записи статистической суммы в более простую форму. Он был введен в 1941 году Гансом Крамерсом и Грегори Ванье . ^{[1] [2]} Во многих одномерных решетчатых моделях статистическая сумма сначала записывается как n- кратное суммирование по каждому возможному микросостоянию , а также содержит дополнительное суммирование вклада каждого компонента в энергию системы в каждом микросостоянии.

Обзор

Модели более высокой размерности содержат еще больше суммирований. Для систем с более чем несколькими частицами такие выражения могут быстро стать слишком сложными для непосредственной обработки даже с помощью компьютера.

Вместо этого функцию распределения можно переписать аналогичным образом. Основная идея состоит в том, чтобы записать функцию распределения в виде

${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ mathbf {v} _ {0} \ cdot \ left \ {\ prod _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k} \ right \ } \ cdot \ mathbf {v} _ {N + 1}}$

где v ₀ и v _{N +1} - векторы размерности p, а матрицы размера p  ×  p W _k - так называемые матрицы переноса . В некоторых случаях, особенно для систем с периодическими граничными условиями, статистическая сумма может быть записана проще как

${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ operatorname {tr} \ left \ {\ prod _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k} \ right \}}$

где «tr» обозначает след матрицы . В любом случае статистическая сумма может быть решена точно с использованием собственного анализа . Если все матрицы являются одной и той же матрицей W , статистическая сумма может быть аппроксимирована как N- ^я степень наибольшего собственного значения W , поскольку след представляет собой сумму собственных значений, а собственные значения произведения двух диагональных матриц равны произведению их индивидуальных собственных значений.

Метод трансфер-матрицы используется, когда вся система может быть разбита на последовательность подсистем, которые взаимодействуют только со смежными подсистемами. Например, трехмерная кубическая решетка спинов в модели Изинга может быть разложена на последовательность двумерных плоских решеток спинов, которые взаимодействуют только смежно. Размерности р из р  ×  р передаточной матрицы равно числу состояний подсистема может иметь; сама передаточная матрица W _k кодирует статистический вес, связанный с конкретным состоянием подсистемы k  - 1, находящимся рядом с другим состоянием подсистемы  k.

В качестве примера наблюдаемых, которые могут быть вычислены с помощью этого метода, вероятность возникновения определенного состояния в позиции x определяется как:${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ mathrm {Pr} _ {m} (x) = {\ frac {\ operatorname {tr} \ left [\ prod _ {k = 1} ^ {x} \ mathbf {W} _ {k} \ mathbf {Pj} \ prod _ {k '= x + 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k'} \ right]} {\ operatorname {tr} \ left [\ prod _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {W} _ {k} \ right]}}}$

Где матрица проекции состояния , имеющая элементы${\ displaystyle Pj}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle Pj _ {\ mu \ nu} = \ delta _ {\ mu \ nu} \ delta _ {\ mu m}}$

Методы трансфер-матрицы было критическим для многих точных решений проблем статистической механики , в том числе Зимм-Брэгга и моделей Lifson-Roig в переходе спираль-клубок , передача матричные модели для связывания белок-ДНК , а также известного точного решения в двумерной модели Изинга по Онзагер .

Смотрите также

• Оператор трансфера

использованная литература

Примечания

• Родни Дж. Бакстер (1982). Точно решаемые модели в статистической механике . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-083182-1.
• Тейф В.Б. (2007). «Общий формализм матрицы переноса для расчета связывания ДНК-белок-лекарственное средство в регуляции генов» . Nucleic Acids Res . 35 (11): e80. DOI : 10.1093 / NAR / gkm268 . PMC  1920 246 . PMID  17526526 .
• Ефремов А.К., Винарди Р.С., Ян Дж. (2016). «Трансфер-матричные расчеты микромеханики полимеров ДНК в условиях растяжения и крутящего момента» . Phys. Rev. E . 94 (3): 032404. Bibcode : 2016PhRvE..94c2404E . DOI : 10.1103 / PhysRevE.94.032404 . PMID  27739846 .
• Ефремов А.К., Ян Дж. (2018). «Трансфер-матричные расчеты влияния ограничений натяжения и крутящего момента на ДНК-белковые взаимодействия» . Nucleic Acids Res . 46 (13): 6504–6527. DOI : 10.1093 / NAR / gky478 . PMC  6061897 . PMID  29878241 .