Гармоническая треугольник Лейбница является треугольным расположением единичных фракций , в которых крайние диагоналей состоят из обратных чисел строк и каждая внутренняя клетка является клеткой по диагонали сверху и слева минус ячейку слева. Выражаясь алгебраически , L ( r , 1) = 1 / r (где r - номер строки, начиная с 1, а c - номер столбца, никогда не больше r ) и L ( r , c ) = L ( г - 1, в - 1) -L ( г , с - 1).
Значения
Первые восемь рядов:
Знаменатели перечислены в (последовательность A003506 в OEIS ), а числители - все единицы.
Условия
Сроки даны повторениями
и явно
где - биномиальный коэффициент . [1]
Связь с треугольником Паскаля
В то время как каждая запись в треугольнике Паскаля является суммой двух записей в приведенной выше строке, каждая запись в треугольнике Лейбница представляет собой сумму двух записей в строке под ней. Например, в 5-й строке запись (1/30) представляет собой сумму двух (1/60) в 6-й строке.
Точно так же, как треугольник Паскаля можно вычислить с использованием биномиальных коэффициентов, можно вычислить и треугольник Лейбница: . Более того, элементы этого треугольника могут быть вычислены по формуле Паскаля : «Термины в каждой строке - это начальный член, разделенный на соответствующие элементы треугольника Паскаля». [2] Фактически, каждая диагональ относится к соответствующим диагоналям Треугольника Паскаля: первая диагональ Лейбница состоит из 1 / (1x натуральные числа ), вторая из 1 / (2x треугольных чисел ), третья из 1 / (3x тетраэдрических чисел ) и так далее.
Характеристики
Если взять знаменатели n- й строки и сложить их, то результат будет равен. Например, для 3-го ряда у нас 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2 2 .
У нас есть
Рекомендации
- ^ W., Weisstein, Эрик. «Гармонический треугольник Лейбница» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 апреля 2018 .
- ^ Уэллс, Дэвид (1986). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , стр.98. ISBN 978-0-14-026149-3 .