В математике коалгебра Ли является двойной структурой и алгебры Ли .
В конечных размерах это двойственные объекты: двойственное векторное пространство к алгебре Ли, естественно, имеет структуру коалгебры Ли, и наоборот.
Определение
Пусть E - векторное пространство над полем k, снабженное линейным отображениемот Й к внешнему произведению из Е с самими собой. Можно однозначно продолжить d до градуированного дифференцирования (это означает, что для любых a , b ∈ E, которые являются однородными элементами ,) Степени 1 на внешней алгебре в E :
Тогда пара ( E , d ) называется коалгеброй Ли, если d 2 = 0, т. Е. Если градуированные компоненты внешней алгебры с дифференцированиемобразуют коцепочечный комплекс :
Отношение к комплексу де Рама
Подобно тому, как внешняя алгебра (и тензорная алгебра) векторных полей на многообразии образуют алгебру Ли (над базовым полем K ), комплекс де Рама дифференциальных форм на многообразии образуют коалгебру Ли (над базовым полем K ). Кроме того, существует сочетание векторных полей и дифференциальных форм.
Однако ситуация более тонкая: скобка Ли не линейна над алгеброй гладких функций (ошибка является производной Ли ), а также внешней производной :(это вывод, не линейный по функциям): они не являются тензорами . Они не линейны по функциям, но ведут себя согласованным образом, что не улавливается просто понятиями алгебры Ли и коалгебры Ли.
Кроме того, в комплексе де Рама вывод определяется не только для , но также определяется для .
Алгебра Ли на двойственном
Структура алгебры Ли в векторном пространстве - это отображение который является кососимметричным и удовлетворяет тождеству Якоби. Эквивалентно, картачто удовлетворяет тождеству Якоби .
Двойственно структура коалгебры Ли на векторном пространстве E - это линейное отображение который является антисимметричным (это означает, что он удовлетворяет , где канонический флип ) и удовлетворяет так называемому условию коцикла (также известному как правило Ко-Лейбница )
- .
Из-за условия антисимметрии карта можно также записать в виде карты .
Двойственная скобка Ли алгебры Ли дает отображение (кокоммутатор)
где изоморфизм выполняется в конечной размерности; двойственно для двойственного коумножения Ли . В этом контексте тождество Якоби соответствует условию коцикла.
Более явно, пусть E - коалгебра Ли над полем характеристики ни 2, ни 3 . Двойственное пространство E * несет структуру скобки, определяемую формулой
- α ([ x , y ]) = d α ( x ∧ y ) для всех α ∈ E и x , y ∈ E * .
Покажем, что это наделяет E * скобкой Ли. Достаточно проверить тождество Якоби . Для любого х , у , г ∈ E * и а Е Е ,
где последний шаг следует из стандартного отождествления двойственного произведения клина с произведением клина двойников. Наконец, это дает
Поскольку d 2 = 0, отсюда следует, что
- , для любых α, x , y и z .
Таким образом, по изоморфизму двойной двойственности (точнее, по мономорфизму двойной двойственности, поскольку векторное пространство не обязательно должно быть конечномерным) тождество Якоби выполняется.
В частности, заметим, что это доказательство демонстрирует, что условие коцикла d 2 = 0 в некотором смысле двойственно тождеству Якоби.
Рекомендации
- Михаэлис, Уолтер (1980), «Коалгебры Ли», Успехи в математике , 38 (1): 1–54, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (80) 90056-0 , ISSN 0001-8708 , MR 0594993