В математике , в частности в абстрактной алгебре и топологии , дифференциальная градуированная алгебра - это градуированная алгебра с добавленной цепной комплексной структурой, которая уважает структуру алгебры.
Определение [ править ]
Дифференциальный градуированная алгебру (или просто DG-алгебра ) является градуированной алгеброй оснащен картой , которая имеет либо степень 1 (коцепной комплекс конвенция) или степень (цепной комплекс конвенция) , которая удовлетворяет двум условия:
- .
Это говорит о том, что d дает A структуру цепного комплекса или коцепного комплекса (соответственно, когда дифференциал уменьшает или увеличивает степень). - , где deg - степень однородности элементов.
Это говорит о том, что дифференциал d соответствует градуированному правилу Лейбница .
Более сжатый способ сформулировать то же определение - сказать, что DG-алгебра - это моноидный объект в моноидальной категории цепных комплексов. Морфизм DG между DG-алгебрами - это гомоморфизм градуированных алгебр, который уважает дифференциал d .
Дифференциальный градуированный дополненной алгебра (также называется DGA-алгебра , дополненной DG-алгебра или просто DGA ) является DG-алгебра оснащена морфизма DG на первом кольце (терминология связана с Генри Картаном ). [1]
Предупреждение: в некоторых источниках термин DGA используется для обозначения DG-алгебры.
Примеры DG-алгебр [ править ]
Тензорная алгебра [ править ]
Тензор алгебра является DG-алгебра с дифференциалом аналогична Козюли комплекса. Для векторного пространства над полем существует градуированное векторное пространство, определяемое как
где . Если является базисом для существует дифференциал на тензорной алгебре, определенный покомпонентно
отправка базовых элементов в
У этого есть канонический продукт, заданный тензорными элементами
Кошульский комплекс [ править ]
Одним из основополагающих примеров дифференциальной градуированной алгебры, широко используемой в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, является комплекс Кошуля . Это из-за его широкого спектра приложений, включая построение плоских разрешений полных пересечений, и с производной точки зрения они дают производную алгебру, представляющую производное критическое геометрическое место.
Алгебра Де-Рама [ править ]
Дифференциальные формы на многообразии вместе с внешним дифференцированием и внешним произведением образуют DG-алгебру. Они имеют широкое применение, в том числе в теории производных деформаций . [2] См. Также когомологии де Рама .
Сингулярные когомологии [ править ]
- Сингулярные гомологиями топологического пространства с коэффициентами в является DG-алгеброй: дифференциал задаются гомоморфизмом Бокштейна , ассоциированный с короткой точной последовательностью , и продукт даются продуктом чашки . Эта дифференциальная градуированная алгебра использовалась для вычисления когомологий пространств Эйленберга – Маклейна на семинаре Картана. [3] [4]
Другие факты о DG-алгебрах [ править ]
- Гомологии из DG-алгебры является градуированной алгеброй. Гомологии DGA-алгебры - это расширенная алгебра .
См. Также [ править ]
- Гомотопическая ассоциативная алгебра
- Дифференциальная градуированная категория
- Дифференциальная градуированная алгебра Ли
- Дифференциальная градуированная схема (которая получается склейкой спектров градуированно-коммутативных дифференциальных градуированных алгебр относительно этальной топологии.)
- Дифференциальный градуированный модуль
Ссылки [ править ]
- ^ Картан, Анри (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane " H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 40 (6): 467–471. DOI : 10.1073 / pnas.40.6.467 . PMC 534072 . PMID 16589508 .
- ^ Манетти. «Дифференциальные градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2013 года.
- ^ Картан, Х. (1954–1955). "DGA-элементы и DGA-модули" . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–9.
- ^ Картан, Х. (1954–1955). «DGA-модули (комплект), понятие де конструкции» . Séminaire Henri Cartan . 7 (1): 1–11.
- Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9см. разделы V.3 и V.5.6