Линейное отношение

В линейной алгебре , А линейная зависимость , или просто соотношение между элементами векторного пространства или модулем является линейным уравнением , которое имеет эти элементы в виде раствора.

Точнее, если являются элементами (левого) модуля $M$ над кольцом $R$ (случай векторного пространства над полем является частным случаем), отношение между - это последовательность элементов из $R,$ такая что ${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {n}}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {n}}$ ${\ Displaystyle (е_ {1}, \ точки, е_ {п})}$

{\ displaystyle f_ {1} e_ {1} + \ dots + f_ {n} e_ {n} = 0.}

Отношения между образуют модуль. Один , как правило , заинтересованы в том случае , когда является порождающим из конечного порожденного модуля $М$ , в этом случае модуль отношений часто называют сизигий модуль из $M$ . Модуль syzygy зависит от выбора генераторной установки, но он уникален с точностью до прямой суммы со свободным модулем. То есть, если и являются Сизигии модулей , соответствующие двум порождающих множеств того же модуля, то есть стабильно изоморфны , что означает , что существует две свободных модулей и таким образом, что и являются изоморфными . ${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {n}}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ dots, e_ {n}}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ Displaystyle S_ {1} \ oplus L_ {1}}$ ${\ Displaystyle S_ {2} \ oplus L_ {2}}$

Модули сизигии более высокого порядка определяются рекурсивно: первый модуль сизигии модуля $M$ - это просто его модуль сизигии. Для $к > 1$ , A $K$ - й сизигий модуль $M$ является модулем сизигий из $(к - 1)$ -го модуля сизигий. Сизигия Гильберта теорема утверждает , что, если это кольцо многочленов в $п$ неизвестных над полем, то каждый $п$ - й модуль сизигии свободен. Случай $n$ $= 0$ - это тот факт, что каждое конечномерное векторное пространство имеет базис, а случай $n$ $= 1$ ${\ Displaystyle R = К [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ состоит в том, что $K [x]$ является областью главных идеалов и что каждый подмодуль конечно порожденного свободного модуля $K [x]$ также свободен.

Построение модулей сизигий более высокого порядка обобщается как определение свободных резольвент , что позволяет переформулировать теорему Гильберта о сизигии в виде кольца многочленов от $n$ неопределенных над полем, имеющего глобальную гомологическую размерность $n$ .

Если $a$ и $b$ - два элемента коммутативного кольца $R$ , то $(b, - a)$ - отношение, которое называется тривиальным . Модуль тривиальных отношений от идеала подмодуль первого модуля сизигий идеала , который генерируется тривиальными соотношениями между элементами порождающего множества идеала. Концепция тривиальных отношений может быть обобщена на модули сизигий более высокого порядка, что приводит к концепции комплекса Кошуля идеала, который предоставляет информацию о нетривиальных отношениях между образующими идеала.

Основные определения [ править ]

Пусть $R$ будет кольцом , и $M$ будет левый $R$ - модуль . Линейная зависимость , или просто соотношение между $K$ элементами из $M$ представляет собой последовательность элементов $М$ такое , что ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$ $(a_{1},\dots ,a_{k})$

a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.

Если это порождающее множество из $М$ , отношение часто называют Сизигии из $М$ . Эта терминология имеет смысл, поскольку, хотя модуль сизигии зависит от выбранного генератора, большинство его свойств независимы; см. § Стабильные свойства ниже. $x_{1},\dots ,x_{k}$

Если кольцо $R$ является нетерово , или, по крайней мере , когерентном , и если $М$ имеет конечное число образующих , то модуль сизигий также конечно порожден. Сизигий модуль этого сизигии модуля является вторыми сизигиями модулем из $M$ . Продолжая этот путь, можно определить $k-$ й модуль сизигии для каждого положительного целого числа $k$ .

Теорема Гильберта о сизигии утверждает, что если $M$ - конечно порожденный модуль над кольцом многочленов над полем , то любой $n-$ й модуль сизигии является свободным модулем . $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$

Стабильные свойства [ править ]

Вообще говоря, на языке K-теории свойство является стабильным, если оно становится истинным путем прямой суммы с достаточно большим свободным модулем . Фундаментальным свойством модулей сизигий является то, что они «стабильно независимы» от выбора порождающих наборов для задействованных модулей. В основе этих стабильных свойств лежит следующий результат.

Предложение - Пусть быть порождающее множество из $R$ - модуля $M$ , и быть другими элементами $М$ . Модуль отношений между - это прямая сумма модуля отношений между и свободным модулем ранга $n$ . $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ $y_{1},\dots ,y_{n}$ $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ $x_{1},\dots ,x_{m},$

Доказательство. Как и генераторный набор, каждый может быть записан. Это обеспечивает связь между Сейчас, если есть какое-либо отношение, то это отношение между Единственным. Другими словами, каждое отношение между - это сумма отношения между и линейная комбинация s. Несложно доказать, что это разложение единственно, и результат доказан. $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ $y_{i}$ $\textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.$ $r_{i}$ $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.$ $(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})$ $\textstyle r-\sum b_{i}r_{i}$ $x_{1},\dots ,x_{m}$ $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ $x_{1},\dots ,x_{m},$ $r_{i}$ $\blacksquare$

Это доказывает, что первый модуль сизигий «стабильно уникален». Точнее, даны два порождающих набора и модуля $M$ , если и являются соответствующими модулями отношений, то существуют два свободных модуля и такие, что и изоморфны. Для доказательства этого достаточно дважды применить предварительное предложение для получения двух разложений модуля отношений между объединением двух порождающих множеств. $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $S_{1}\oplus L_{1}$ $S_{2}\oplus L_{2}$

Чтобы получить аналогичный результат для высших модулей сизигий, осталось доказать, что если $M$ - любой модуль, а $L$ - свободный модуль, то $M$ и $M \oplus L$ имеют изоморфные модули сизигий. Достаточно рассмотреть порождающее множество $M \oplus L$ , состоящее из порождающего множества $М$ и основ $L$ . Для каждого отношения между элементами этого порождающего множества все коэффициенты базисных элементов $L$ равны нулю, а сизигии $M \oplus L$ в точности сизигии $M$ расширенный с нулевыми коэффициентами. Это завершает доказательство следующей теоремы.

Теорема - Для любого натурального числа $к$ , то $к$ й сизигии модуля данного модуль зависит от выбора порождающих множеств, но единственно с точностью до прямой суммы со свободным модулем. Точнее, если и являются $k$ -ми модулями сизигий, которые получаются различным выбором порождающих наборов, то существуют свободные модули и такие, что и изоморфны. $S_{1}$ $S_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $S_{1}\oplus L_{1}$ $S_{2}\oplus L_{2}$

Отношения со свободными разрешениями [ править ]

Учитывая , порождающее множество из $R$ - модуль, можно рассмотреть свободный модуль из $L$ базиса , где находятся новые неизвестные. Это определяет точную последовательность $g_{1},\dots ,g_{n}$ $G_{1},\dots ,G_{n},$ $G_{1},\dots ,G_{n}$

L\longrightarrow M\longrightarrow 0,

где левая стрелка является линейным отображением , который отображает каждый к соответствующему В ядре этого левой стрелки является первой сизигией модулем $M$ . $G_{i}$ $g_{i}.$

Можно repeate этой конструкции с этим ядром вместо $М$ . Повторяя снова и снова эту конструкцию, получаем длинную точную последовательность

\cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,

где все бесплатные модули. По определению, такая длинная точная последовательность является свободной резольвентой из $М$ . $L_{i}$

Для каждого $к \geq 1$ , ядро стрелки , начиная с является $K$ - й сизигий модуль $М$ . Отсюда следует, что изучение свободных резольвент - то же самое, что изучение модулей сизигий. $S_{k}$ $L_{k-1}$

Свободная резольвента конечна длины $\leq n,$ если она свободна. В этом случае можно взять и ( нулевой модуль ) для любого $k$ $>$ $n$ . $S_{n}$ $L_{n}=S_{n},$ $L_{k}=0$

Это позволяет пересчет теореме сизигий Гильберта : Если это кольцо многочленов в $п$ неизвестных над полем $К$ , то каждое свободное разрешение конечное длиной не более $п$ . $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$

Глобальная размерность коммутативного нётерового кольца является либо бесконечной, либо минимальным $п$ такой , что каждое свободное разрешение конечно длиной не более $п$ . Коммутативное нётерово кольцо является регулярным, если его глобальная размерность конечна. В этом случае глобальное измерение равно его измерению Крулля . Итак, теорему Гильберта о сизигии можно переформулировать в очень коротком предложении, скрывающем большую часть математики: кольцо многочленов над полем - это правильное кольцо.

Тривиальные отношения [ править ]

В коммутативном кольце $R$ всегда $ab - ba = 0$ . Отсюда тривиально следует, что $(b, - a)$ является линейной зависимостью между $a$ и $b$ . Следовательно, при заданном порождающем множестве идеала $I$ каждый элемент подмодуля называется тривиальным отношением или тривиальной сизигией, модулем сизигии, который порождается этими тривиальными отношениями между двумя порождающими элементами. Точнее, модуль тривиальных сизигий порождается соотношениями $g_{1},\dots ,g_{k}$

r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})

такие, что и иначе. $x_{i}=g_{j},$ $x_{j}=-g_{i},$ $x_{h}=0$

История [ править ]

Слово сизигия вошло в математику с работами Артура Кэли . ^[1] В этой статье Кэли использовал его для теории результирующих и дискриминантов . ^[2] Поскольку слово сизигия использовалось в астрономии для обозначения линейной связи между планетами, Кэли использовал его для обозначения линейных отношений между минорами матрицы, например, в случае матрицы 2 × 3:

a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.

Затем слово сизигия была популяризировали (среди математиков) от Давида Гильберта в его статье 1890, которая содержит три основных теорем о многочленах, теорема сизигии Гильберта , теоремы Гильберта о базисе и Гильберт о нулях .

В своей статье Кэли использует, в частном случае, то, что позже ^{[3] было} названо комплексом Кошуля , после аналогичной конструкции в дифференциальной геометрии математика Жана-Луи Кошуля .

Заметки [ править ]

^ 1847 [Cayley 1847] А. Кэли, “К теории инволюции в геометрии”, Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. См. Также Сборник статей, т. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Press, Кембридж.
^ [Гельфанд и др. 1994] И. М. Гельфанд, М. М. Капранов, А. В. Зелевинский, Дискриминанты, результирующие и многомерные детерминанты, Математика: теория и приложения, Биркхойзер, Бостон, 1994.
^ Серр, Жан-Пьер Альжебр locale. Multiplicités. (Французский) Cours au Collège de France, 1957–1958 гг., Редж Пьера Габриэля. Seconde édition, 1965. Конспект лекций по математике, 11 Springer-Verlag, Berlin-New York 1965 vii + 188 стр .; это опубликованная форма мимеографических заметок из лекций Серра в College de France в 1958 году.

Ссылки [ править ]

Кокс, Дэвид; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2007). «Идеалы, разновидности и алгоритмы». Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. DOI : 10.1007 / 978-0-387-35651-8 . ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN 0172-6056 .
Кокс, Дэвид; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2005). «Использование алгебраической геометрии». Тексты для выпускников по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / b138611 . ISBN 0-387-20706-6.
Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике. 150 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8.
Дэвид Эйзенбуд, Геометрия сизигий, Тексты для выпускников по математике, т. 229, Springer, 2005.

[1] 1847 [Cayley 1847] А. Кэли, “К теории инволюции в геометрии”, Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. См. Также Сборник статей, т. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Press, Кембридж.

[2] [Гельфанд и др. 1994] И. М. Гельфанд, М. М. Капранов, А. В. Зелевинский, Дискриминанты, результирующие и многомерные детерминанты, Математика: теория и приложения, Биркхойзер, Бостон, 1994.

[3] Серр, Жан-Пьер Альжебр locale. Multiplicités. (Французский) Cours au Collège de France, 1957–1958 гг., Редж Пьера Габриэля. Seconde édition, 1965. Конспект лекций по математике, 11 Springer-Verlag, Berlin-New York 1965 vii + 188 стр .; это опубликованная форма мимеографических заметок из лекций Серра в College de France в 1958 году.