В аналитической геометрии , линия и сфера могут пересекаться тремя способами:
- Никакого пересечения
- Пересечение ровно в одной точке
- Пересечение в двух точках.
Три возможных пересечения линии и сферы:
1. Нет пересечения.
2. Точка пересечения.
3. Пересечение двух точек.
Методы различения этих случаев и определения координат точек в последних случаях полезны в ряде обстоятельств. Например, это обычное вычисление, выполняемое во время трассировки лучей . [1]
В векторной записи уравнения выглядят следующим образом:
Уравнение для сферы
- : точки на сфере
- : Центральная точка
- : радиус сферы
Уравнение для линии, начинающейся в
- : точки на линии
- : начало линии
- : расстояние от начала координат по линии
- : направление линии ( единичный вектор )
Поиск точек, которые находятся на линии и на сфере, означает объединение уравнений и решение для , включая скалярное произведение векторов:
- Комбинированные уравнения
- Развернуто и переставлено:
- Теперь можно наблюдать форму квадратичной формулы . (Это квадратное уравнение является примером уравнения Иоахимсталя. [2] )
- где
- Упрощенный
- Обратите внимание, что является единичным вектором, и, следовательно, . Таким образом, мы можем упростить это до
- Если , то ясно, что решений не существует, т.е. прямая не пересекает сферу (случай 1).
- Если , то существует ровно одно решение, т.е. прямая касается сферы в одной точке (случай 2).
- Если , существует два решения, поэтому прямая касается сферы в двух точках (случай 3).