Список однородных многогранников по треугольнику Шварца
Между однородными многогранниками существует множество взаимосвязей . Конструкция Витхоффа позволяет построить почти все однородные многогранники из остроугольных и тупоугольных треугольников Шварца . Числа, которые можно использовать для сторон непрямоугольного острого или тупоугольного треугольника Шварца, который не обязательно приводит только к вырожденным однородным многогранникам, это 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 и 5/4 (но числа с числителем 4 и числа с числителем 5 не могут встречаться вместе). (4/2 также можно использовать, но это приводит только к вырожденным однородным многогранникам, поскольку 4 и 2 имеют общий множитель.) Существует 44 таких треугольника Шварца (5 с тетраэдрической симметрией , 7 с октаэдрической симметрией и 32 сикосаэдрическая симметрия ), которые вместе с бесконечным семейством двугранных треугольников Шварца могут образовывать почти все невырожденные однородные многогранники. Многие вырожденные однородные многогранники с полностью совпадающими вершинами, ребрами или гранями также могут быть созданы с помощью конструкции Витхоффа, а те, которые возникают из треугольников Шварца без использования 4/2, также приведены в таблицах ниже вместе с их невырожденными аналогами. . Рефлекторные треугольники Шварца не были включены, так как они просто создают дубликаты или вырождения; однако некоторые из них упоминаются вне таблиц из-за их применения к трем курносым многогранникам .
Есть несколько невитоффовских однородных многогранников, которые не могут быть порождены никакими треугольниками Шварца; однако большинство из них можно сгенерировать с помощью конструкции Витгофа в виде двойных покрытий (невитоффов многогранник покрывается дважды, а не один раз) или с несколькими дополнительными совпадающими гранями, которые необходимо отбросить, чтобы на каждом ребре осталось не более двух граней (см. Неусеченный многогранник # Другие невыпуклые многогранники с четными сторонами ). Такие многогранники отмечены в этом списке звездочкой. Единственными однородными многогранниками, которые все еще не могут быть получены конструкцией Витхоффа, являются большой диромбикосододекаэдр и большой диснуб-диромбидодекаэдр .
Каждая мозаика треугольников Шварца на сфере может покрывать сферу только один раз или вместо этого может оборачиваться вокруг сферы целое число раз, пересекаясь при этом. Количество оборотов мозаики вокруг сферы является плотностью мозаики и обозначается µ.
Сокращенные имена Джонатана Бауэрса для многогранников, известные как аббревиатуры Бауэрса, используются вместо полных имен многогранников для экономии места. Также указан индекс Медера. За исключением двугранных треугольников Шварца, треугольники Шварца упорядочены по их плотности.
Имеется 4 сферических треугольника с углами π/p, π/q, π/r, где (pqr) — целые числа: ( Коксетер , «Однородные многогранники», 1954)
Кроме того , треугольники Шварца учитывают (pqr), которые являются рациональными числами. Каждый из них может быть классифицирован в одном из 4 наборов выше.
