В математике , как местные Ленглендса домыслы , введенные Ленглендсы ( 1967 , 1970 ), являются частью программы Ленглендса . Они описывают соответствие между комплексными представлениями восстановительной алгебраической группы G над локальным полем F , и представление группы Ленглендса из F в Л-группу G . В общем, это соответствие не является взаимно однозначным. Гипотезы можно рассматривать как обобщение локальной теории полей классов абелевых групп Галуа. неабелевым группам Галуа.
Локальные гипотезы Ленглендса для GL 1
Локальные гипотезы Ленглендса для GL 1 ( K ) вытекают из локальной теории полей классов (и по существу эквивалентны ей) . Точнее, отображение Артина дает изоморфизм группы GL 1 ( K ) = K * абелианизации группы Вейля . В частности, неприводимые гладкие представления группы GL 1 ( K ) одномерны, поскольку группа абелева, поэтому их можно отождествить с гомоморфизмами группы Вейля в GL 1 ( C ). Это дает соответствие Ленглендса между гомоморфизмами группы Вейля в GL 1 ( C ) и неприводимыми гладкими представлениями группы GL 1 ( K ).
Представления группы Вейля
Представления группы Вейля не совсем соответствуют неприводимым гладким представлениям общих линейных групп. Чтобы получить биекцию, нужно немного изменить понятие представления группы Вейля до того, что называется представлением Вейля – Делиня. Оно состоит из представления группы Вейля в векторном пространстве V вместе с нильпотентным эндоморфизмом N пространства V таким, что wNw −1 = || w || N , или, что то же самое, представление группы Вейля – Делиня . Вдобавок представление группы Вейля должно иметь открытое ядро и должно быть (по Фробениусу) полупростым.
Для любого полупростого комплексного n- мерного представления Вейля – Делиня ρ группы Вейля группы F существует L-функция L ( s , ρ) и локальный ε-фактор ε ( s , ρ, ψ) (зависящий от характера ψ функции F ).
Представления GL n ( F )
Представления GL n ( F ), входящие в локальное соответствие Ленглендса, являются гладкими неприводимыми комплексными представлениями.
- «Гладкий» означает, что каждый вектор фиксируется некоторой открытой подгруппой.
- «Неприводимое» означает, что представление не равно нулю и не имеет других подпредставлений, кроме 0 и самого себя.
Гладкие неприводимые комплексные представления автоматически допустимы.
Классификации Бернштейн-Зелевинская уменьшают классификацию неприводимых гладких представлений к каспидальным представлениям.
Для всякого неприводимого допустимого комплексного представления π существует L-функция L ( s , π) и локальный ε-фактор ε ( s , π, ψ) (зависящий от характера ψ группы F ). В более общем смысле, если существует два неприводимых допустимых представления π и π 'общих линейных групп, существуют локальные сверточные L-функции Ранкина – Сельберга L ( s , π × π') и ε-множители ε ( s , π × π ', ψ).
Бушнелл и Куцко (1993) описали неприводимые допустимые представления полных линейных групп над локальными полями.
Локальные гипотезы Ленглендса для GL 2
Локальная гипотеза Ленглендса для GL 2 локального поля утверждает, что существует (единственная) биекция π из 2-мерных полупростых представлений Вейля-Делиня группы Вейля в неприводимые гладкие представления GL 2 ( F ), сохраняющая L -функции, ε-факторов и коммутирует со скручиванием на характеры F * .
Жаке и Ленглендс (1970) подтвердили локальные гипотезы Ленглендса для GL 2 в случае, когда поле вычетов не имеет характеристики 2. В этом случае все представления группы Вейля имеют циклический или диэдральный тип. Гельфанд и Граев (1962) классифицировал гладкие неприводимые представления GL 2 ( F ), когда F имеет характеристику нечетного остатка (см. также ( Гельфанд, Граев и Пятецкий-Шапиро, 1969 , глава 2)), и неверно утверждал, что классификация характеристики четного остатка лишь незначительно отличается от случай нечетного остатка. Вейль (1974) указал, что, когда поле вычетов имеет характеристику 2, существуют некоторые дополнительные исключительные двумерные представления группы Вейля, образ которой в PGL 2 ( C ) имеет тетраэдрический или октаэдрический тип. (Для глобальных гипотез Ленглендса двумерные представления также могут быть икосаэдрального типа, но этого не может произойти в локальном случае, поскольку группы Галуа разрешимы.) Таннелл (1978) доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL 2 ( K ) над 2-адическими числами и над локальными полями, содержащими кубический корень из единицы. Куцко ( 1980 , 1980b ) доказал локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL 2 ( K ) над всеми локальными полями.
Картье (1981) и Бушнелл и Хенниарт (2006) представили доказательства.
Локальные гипотезы Ленглендса для GL n
Локальные гипотезы Ленглендса для общих линейных групп утверждают, что существуют единственные биекции π ↔ ρ π из классов эквивалентности неприводимых допустимых представлений π группы GL n ( F ) в классы эквивалентности непрерывных полупростых комплексных n- мерных представлений Вейля – Делиня ρ π группы Фробениуса. группа Вейля группы F , сохраняющая L -функции и ε-факторы пар представлений и совпадающая с отображением Артина для одномерных представлений. Другими словами,
- L ( s , ρ π ⊗ρ π ' ) = L ( s , π × π')
- ε ( s , ρ π ⊗ρ π ' , ψ) = ε ( s , π × π', ψ)
Laumon, Рапопорт & Stühler (1993) доказала локальный Ленглендс гипотезу для общей линейной группы GL п ( K ) для положительной характеристики локальных полого K . Карайол (1992) представил свои работы.
Харрис и Тейлор (2001) доказали локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL n ( K ) для локальных полей K характеристики 0 . Хенниарт (2000) дал еще одно доказательство. Carayol (2000) и Wedhorn (2008) представили свои работы.
Локальные гипотезы Ленглендса для других групп
Борель (1979) и Воган (1993) обсуждают гипотезы Ленглендса для более общих групп. Гипотезы Ленглендса для произвольных редуктивных групп G сформулировать сложнее, чем для общих линейных групп, и неясно, как лучше всего их сформулировать. Грубо говоря, допустимые представления редуктивной группы объединяется в непересекающиеся множества конечных называемых L -packets, которые должны соответствовать некоторым классам гомоморфизмов, называемых L - параметрами, из локальной группы Ленглендса к L -группе из G . В некоторых более ранних версиях вместо локальной группы Ленглендса использовалась группа Вейля-Делиня или группа Вейля, что дает несколько более слабую форму гипотезы.
Ленглендс (1989) доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями R и C , дав классификацию Ленглендса их неприводимых допустимых представлений (с точностью до бесконечно малой эквивалентности) или, что то же самое, их неприводимых допустимых представлений.-модули .
Ган и Такеда (2011) доказали локальные гипотезы Ленглендса для группы симплектического подобия GSp (4) и использовали их в работе Гана и Такеда (2010), чтобы вывести их для симплектической группы Sp (4).
Рекомендации
- Борель, Арманд (1979), "Автоморфные L-функции" , у Бореля, Арманд ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 27–61, ISBN 978-0-8218-1437-6, MR 0546608
- Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 335 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, Руководство по ремонту 2234120
- Бушнелл, Колин Дж .; Куцко, Филип К. (1993), Допустимое двойственное к GL (N) через компактные открытые подгруппы , Annals of Mathematics Studies, 129 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-03256-6, Руководство по ремонту 1204652
- Карайоль, Анри (1992), "Variétés de Drinfeld compactes, d'après Laumon, Rapoport et Stuhler" , Astérisque , 206 : 369–409, ISSN 0303-1179 , MR 1206074
- Карайоль, Анри (2000), "Preuve de la conjecture de Langlands locale pour GL n : travaux de Harris-Taylor et Henniart" , Séminaire Bourbaki. Vol. 1998/99., Astérisque , 266 : 191–243, ISSN 0303-1179 , MR 1772675
- Картье, Пьер (1981), "Место гипотезы Лангландса для GL (2) и демонстрации Ф. Куцко" , Семинар Бурбаки, Vol. 1979/80 , Конспект лекций по математике. (на французском языке), 842 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., С. 112-138, DOI : 10.1007 / BFb0089931 , ISBN 978-3-540-10292-2, Руководство по ремонту 0636520
- Ган, Ви Тек ; Takeda, Shuichiro (2010), "Локальная Langlands гипотеза для Sp (4)", Международный математический исследований Извещения , 2010 (15): 2987-3038, Arxiv : 0805,2731 , DOI : 10,1093 / imrn / rnp203 , ISSN 1073-7928 , Руководство по ремонту 2673717 , S2CID 5990821
- Ган, Ви Тек ; Takeda, Shuichiro (2011), "Локальная Ленглендса гипотеза для GSp (4)", Annals математики , 173 (3): 1841-1882, Arxiv : 0706,0952 , DOI : 10,4007 / annals.2011.173.3.12
- Гельфанд И.М .; Граев, М.И .; Пятецкий-Шапиро, II (1969) [1966], Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, 6 , Филадельфия, Пенсильвания: WB Saunders Co., ISBN 978-0-12-279506-0, MR 0220673
- Харрис, Майкл ; Тейлор, Ричард (2001), Геометрия и когомологии некоторых простых разновидностей Шимуры , Анналы математических исследований, 151 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0, MR 1876802
- Хенниарт, Гай (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL (n) sur un corps p-adique", Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode : 2000InMat.139..439H , doi : 10.1007 / s002220050012 , ISSN 0020-9910 , MR 1738446 , S2CID 120799103
- Хенниар, Гай (2006), «О локальных соответствиях Ленглендса и Жаке-Ленглендса» , в Сан-Соле, Марта ; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; и другие. (ред.), Международный конгресс математиков. Vol. II , Eur. Математика. Soc., Цюрих, стр. 1171–1182, ISBN 978-3-03719-022-7, Руководство по ремонту 2275640
- Жаке, Эрве ; Лэнглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Лекционные заметки по математике, 114 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, Руководство по ремонту 0401654
- Кудла, Стивен С. (1994), «Местная корреспонденция Ленглендса: неархимедов случай», в Jannsen, Uwe; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер (ред.), Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., 55 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 365–391, ISBN 978-0-8218-1637-0, Руководство по ремонту 1265559
- Kutzko, Филипп (1980), "О Langlands гипотеза для GL 2 локального поля", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 2 (3): 455-458, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1980-14765 -5 , ISSN 0002-9904 , Руководство по ремонту 0561532
- Kutzko, Филипп (1980b), "О Ленглендса гипотеза для Gl 2 локального поля", Анналы математики , второй серии 112 (2): 381-412, DOI : 10,2307 / 1971151 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971151 , Руководство по ремонту 0592296
- Ленглендс, Роберт (1967), письмо профессору Вейлю
- Langlands, RP (1970), "Проблемы теории автоморфных форм" , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Lecture Notes in Math, 170 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, Руководство по ремонту 0302614
- Лэнглендс, Роберт П. (1989) [1973], «О классификации неприводимых представлений вещественных алгебраических групп» , Салли, Пол Дж .; Воган, Дэвид А. (ред.), Теория представлений и гармонический анализ на полупростых группах Ли , Math. Surveys Monogr., 31 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 101–170, ISBN 978-0-8218-1526-7, MR 1011897
- Laumon, G .; Рапопорт, М .; Stühler, У. (1993), "D-эллиптические пучки и переписка Ленглендса", Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217-338, Bibcode : 1993InMat.113..217L , DOI : 10.1007 / BF01244308 , ISSN 0020-9910 , Руководство по ремонту 1228127 , S2CID 124557672
- Таннелл, Джеррольд Б. (1978), «О локальной гипотезе Ленглендса для GL (2)», Inventiones Mathematicae , 46 (2): 179–200, Bibcode : 1978InMat..46..179T , doi : 10.1007 / BF01393255 , ISSN 0020-9910 , Руководство по эксплуатации 0476703 , S2CID 117747963
- Воган, Дэвид А. (1993), «Локальная гипотеза Ленглендса» , у Адамса, Джеффри; Херб, Ребекка ; Кудла, Стивен; Ли, Цзянь-Шу; Липсман, Рон; Розенберг, Джонатан (ред.), Теория представлений групп и алгебр , Contemp. Math., 145 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 305–379, ISBN 978-0-8218-5168-5, Руководство по ремонту 1216197
- Ведхорн, Торстен (2008), «Локальное соответствие Ленглендса для GL (n) над p-адическими полями» (PDF) , в Göttsche, Lothar; Сложнее, G .; Рагхунатан, MS (ред.), Школа автоморфных форм на GL (n) , ICTP Lect. Примечания, 21 , Abdus Salam Int. Cent. Теорет. Phys., Trieste, стр. 237–320, arXiv : math / 0011210 , Bibcode : 2000math ..... 11210W , ISBN 978-92-95003-37-8, MR 2508771 , архивировано из оригинального (PDF) 07.05.2020
- Weil, André (1974), "Exercices dyadiques", Inventiones Mathematicae , 27 (1-2): 1-22, Bibcode : 1974InMat..27 .... 1W , doi : 10.1007 / BF01389962 , ISSN 0020-9910 , MR 0379445 , S2CID 189830448
Внешние ссылки
- Харрис, Майкл (2000), Местная корреспонденция Ленглендса (PDF) , Примечания (половина) курса в IHP
- Работа Роберта Ленглендса
- Автоморфные формы - Лекция Ричарда Тейлора о локальной гипотезе Ленглендса