В математике локально проконечная группа - это топологическая группа Хаусдорфа, в которой каждая окрестность единичного элемента содержит компактную открытую подгруппу. Эквивалентно, локально проконечная группа - это топологическая группа, которая является хаусдорфовой , локально компактной и полностью несвязной . Более того, локально проконечная группа компактна тогда и только тогда, когда она проконечна ; это объясняет терминологию. Основными примерами локально проконечных групп являются дискретные группы и p -адическая группа Ли . Непримеры - это действительные группы Ли, которые не обладают свойством малой подгруппы .
В локально проконечной группе замкнутая подгруппа локально проконечна, и каждая компактная подгруппа содержится в открытой компактной подгруппе.
Примеры
Важные примеры локально проконечных групп взяты из теории алгебраических чисел . Пусть F - неархимедово локальное поле . Тогда и F, илокально проконечны. В более общем смысле матричное кольцои общая линейная группа локально проконечны. Другой пример локально проконечной группы - это абсолютная группа Вейля неархимедова локального поля: это контрастирует с тем фактом, что абсолютная группа Галуа такого рода проконечна (в частности, компактна).
Представления локально проконечной группы
Пусть G - локально проконечная группа. Тогда групповой гомоморфизм является непрерывным тогда и только тогда, когда оно имеет открытое ядро.
Позволять комплексное представление G . [1] называется гладким, если V является объединениемгде K пробегает все открытые компактные подгруппы K .называется допустимым, если он гладкий иконечномерен для любой открытой компактной подгруппы K .
Теперь мы делаем общее предположение, что не более чем счетно для всех открытых компактных подгрупп К .
Двойное пространство несет действие группы G, заданной. В общем,не гладко. Таким образом, положим где действует через и установить . Гладкое представлениеназывается контрагредиентом или гладким двойственным к.
Контравариантный функтор
из категории гладких представлений G в себя точно. Более того, следующие эквивалентны.
- допустимо.
- допустимо. [2]
- Каноническое отображение G -модулей является изоморфизмом.
Когда допустимо, неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо.
Предположение о счетности в начале действительно необходимо, поскольку существует локально проконечная группа, допускающая неприводимое гладкое представление такой, что не является неприводимым.
Алгебра Гекке локально проконечной группы
Позволять - унимодулярная локально проконечная группа такая, что не более чем счетно для всех открытых компактных подгрупп K и левая мера Хаара на . Позволять обозначим пространство локально постоянных функций на с компактной опорой. С мультипликативной структурой, заданной
не обязательно становится единым ассоциативным -алгебра. Она называется алгеброй Гекке группы G и обозначается. Алгебра играет важную роль в изучении гладких представлений локально проконечных групп. Действительно, имеет место следующее: для гладкого представлениягруппы G определим новое действие на V :
Таким образом, у нас есть функтор из категории гладких представлений в категорию невырожденных -модули. Здесь «невырожденный» означает. Тогда дело в том, что функтор эквивалентен. [3]
Заметки
Рекомендации
- Коринн Блондель, Основная теория представлений редуктивных p-адических групп [1]
- Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 335 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, Руководство по ремонту 2234120
- Милн, Дж. С. (1988), Канонические модели (смешанных) многообразий Шимуры и автоморфных векторных расслоений , MR 1044823