МУЗЫКА (алгоритм)

Радиопеленгования с помощью алгоритма MUSIC

MUSIC ( MUltiple SIgnal Classification ) - это алгоритм, используемый для оценки частоты ^[1] и радиопеленгации . ^[2]

История [ править ]

Во многих практических задачах обработки сигналов цель состоит в том, чтобы оценить на основе измерений набор постоянных параметров, от которых зависят принимаемые сигналы. Было несколько подходов к таким проблемам, включая так называемый метод максимального правдоподобия (ML) Капона (1969) и метод максимальной энтропии Бурга (ME). Хотя эти методы часто успешны и широко используются, они имеют определенные фундаментальные ограничения (особенно смещение и чувствительность в оценках параметров), в основном потому, что они используют неверную модель (например, AR, а не специальную ARMA ) измерений.

Писаренко (1973) был одним из первых, кто использовал структуру модели данных в контексте оценки параметров сложных синусоид в аддитивном шуме с использованием ковариационного подхода. Шмидт (1977), работая в Northrop Grumman и независимо Бьенвену и Копп (1979), был первым, кто правильно использовал модель измерения в случае массивов датчиков произвольной формы. Шмидт, в частности, добился этого, сначала получив полное геометрическое решение в отсутствие шума, а затем ловко расширив геометрические концепции, чтобы получить разумное приближенное решение в присутствии шума. Полученный алгоритм получил название MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) и широко изучался.

В результате детальной оценки, основанной на тысячах симуляций, лаборатория Линкольна Массачусетского технологического института в 1998 году пришла к выводу, что среди принятых в настоящее время алгоритмов высокого разрешения MUSIC является наиболее многообещающим и ведущим кандидатом для дальнейшего изучения и фактической аппаратной реализации. ^[3] Однако, хотя преимущества в производительности MUSIC существенны, они достигаются за счет затрат на вычисления (поиск в пространстве параметров) и хранение (данных калибровки массива). ^[4]

Теория [ править ]

Метод MUSIC предполагает, что вектор сигнала , состоит из комплексных экспонент, частоты которых неизвестны, в присутствии гауссовского белого шума , как задано линейной моделью${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {s} + \ mathbf {n},}$

где представляет собой матрицу Вандермонда из управляющих векторов и амплитуда вектора. Автокорреляционная матрица затем дается${\ Displaystyle \ mathbf {A} = [\ mathbf {a} (\ omega _ {1}), \ cdots, \ mathbf {a} (\ omega _ {p})]}$${\ displaystyle M \ times p}$${\ displaystyle \ mathbf {a} (\ omega) = [1, e ^ {j \ omega}, e ^ {j2 \ omega}, \ ldots, e ^ {j (M-1) \ omega}] ^ { T}}$${\ Displaystyle \ mathbf {s} = [s_ {1}, \ ldots, s_ {p}] ^ {T}}$${\ displaystyle M \ times M}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+\sigma ^{2}\mathbf {I} ,}$

где - дисперсия шума, а - автокорреляция . ${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{s}}$${\displaystyle \mathbf {s} }$

Матрица автокорреляции традиционно оценивается с использованием выборочной корреляционной матрицы. ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {R} }}_{x}={\frac {1}{N}}\mathbf {X} \mathbf {X} ^{H}}$

где - количество векторных наблюдений и . Учитывая оценку , MUSIC оценивает частотный состав сигнала или автокорреляционной матрицы, используя метод собственного подпространства .${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N}]}$${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$

Поскольку матрица является эрмитовой, все ее собственные векторы ортогональны друг другу. Если собственные значения отсортированы в порядке убывания, собственные векторы, соответствующие наибольшим собственным значениям (то есть направлениям наибольшей изменчивости), охватывают подпространство сигнала . Остальные собственные векторы соответствуют собственному значению, равному шумовому подпространству , которое ортогонально сигнальному подпространству, и охватывают его . ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle M-p}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}\perp {\mathcal {U}}_{N}}$

Обратите внимание, что для , MUSIC идентичен гармоническому разложению Писаренко . Общая идея метода MUSIC состоит в том, чтобы использовать все собственные векторы, охватывающие подпространство шума, для повышения производительности оценщика Писаренко. ${\displaystyle M=p+1}$

Поскольку любой вектор сигнала, который находится в подпространстве сигнала, должен быть ортогонален подпространству шума , он должен быть таким для всех собственных векторов, которые охватывают подпространство шума. Чтобы измерить степень ортогональности по отношению ко всем , алгоритм MUSIC определяет квадрат нормы ${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_{N}}$${\displaystyle \mathbf {e} \perp \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle \{\mathbf {v} _{i}\}_{i=p+1}^{M}}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}}_{N}}$

${\displaystyle d^{2}=\|\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \|^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}$

где матрица - это матрица собственных векторов, охватывающих шумовое подпространство . Если , то как следует из условия ортогональности. Использование выражения, обратного квадрату нормы, создает резкие пики на частотах сигнала. Функция оценки частоты для МУЗЫКИ (или псевдоспектра):${\displaystyle \mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v} _{M}]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle {\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},}$

где - собственные векторы шума и${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}}$

- потенциальный управляющий вектор. Расположение наибольших пиков функции оценки дает оценки частоты для компонентов сигнала.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\hat {\omega }}=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega }).}$

МУЗЫКА - это обобщение метода Писаренко , которое сводится к методу Писаренко, когда . В методе Писаренко для формирования знаменателя используется только один собственный вектор; а собственный вектор интерпретируется как набор коэффициентов авторегрессии , нули которых могут быть найдены аналитически или с помощью алгоритмов поиска полиномиального корня. Напротив, MUSIC предполагает, что несколько таких функций были добавлены вместе, поэтому нули могут отсутствовать. Вместо этого есть локальные минимумы, которые могут быть обнаружены путем вычислительного поиска пиков в функции оценки.${\displaystyle M=p+1}$

Сравнение с другими методами [ править ]

MUSIC превосходит простые методы, такие как выбор пиков спектров DFT в присутствии шума, когда количество компонентов известно заранее, потому что он использует знание этого числа, чтобы игнорировать шум в своем окончательном отчете.

В отличие от DFT, он может оценивать частоты с точностью выше одной выборки, потому что его функция оценки может быть оценена для любой частоты, а не только для интервалов DFT. Это форма сверхразрешения .

Его главный недостаток состоит в том, что он требует, чтобы количество компонентов было известно заранее, поэтому исходный метод не может быть использован в более общих случаях. Существуют методы оценки количества исходных компонентов исключительно на основе статистических свойств автокорреляционной матрицы. См., Например, ^[5]. Кроме того, MUSIC предполагает, что сосуществующие источники некоррелированы, что ограничивает ее практическое применение.

Недавние итерационные полупараметрические методы предлагают надежное сверхразрешение, несмотря на сильно коррелированные источники, например SAMV ^{[6] [7]}

Другие приложения [ править ]

Модифицированная версия MUSIC, обозначенная как Time-Reversal MUSIC (TR-MUSIC), недавно была применена для вычислительной визуализации с обращением времени. ^{[8] [9]} Алгоритм MUSIC также был реализован для быстрого обнаружения частот DTMF ( двухтональная многочастотная передача сигналов ) в виде библиотеки C - libmusic. ^[10]

См. Также [ править ]

• Оценка спектральной плотности
• Периодограмма
• Соответствующий фильтр
• Метод Уэлча
• Метод Бартлетта
• САМВ
• Радиопеленгация
• Алгоритм определения высоты тона
• Микроскопия высокого разрешения

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Оценка и отслеживание частоты, Куинн и Ханнан, Cambridge University Press 2001.