В статистической обработке сигнала , цель оценки спектральной плотности ( СД ), чтобы оценить по спектральной плотности (также известную как спектральная плотность мощности ) в виде случайного сигнала из последовательности временных отсчетов сигнала. [1] Интуитивно говоря, спектральная плотность характеризует частотный состав сигнала. Одной из целей оценки спектральной плотности является обнаружение любых периодичностей в данных путем наблюдения пиков на частотах, соответствующих этим периодичностям.
Некоторые методы SDE предполагают, что сигнал состоит из ограниченного (обычно небольшого) количества генерируемых частот плюс шум, и стремятся найти местоположение и интенсивность генерируемых частот. Другие не делают предположений о количестве компонентов и стремятся оценить весь спектр генерации.
Обзор
Спектральный анализ , также называемый анализом в частотной области или оценкой спектральной плотности, представляет собой технический процесс разложения сложного сигнала на более простые части. Как описано выше, многие физические процессы лучше всего описать как сумму многих индивидуальных частотных компонентов. Любой процесс, который количественно определяет различные величины (например, амплитуды, мощности, интенсивности) в зависимости от частоты (или фазы ), можно назвать спектральным анализом .
Спектральный анализ может быть выполнен для всего сигнала. В качестве альтернативы сигнал можно разбить на короткие сегменты (иногда называемые кадрами ), и к этим отдельным сегментам может применяться анализ спектра. Периодические функции (например,) особенно хорошо подходят для этого подразделения. Общие математические методы анализа непериодических функций относятся к категории анализа Фурье .
Преобразование Фурье функции создает частотный спектр, который содержит всю информацию об исходном сигнале, но в другой форме. Это означает, что исходная функция может быть полностью восстановлена ( синтезирована ) с помощью обратного преобразования Фурье . Для идеального восстановления анализатор спектра должен сохранять как амплитуду, так и фазу каждой частотной составляющей. Эти две части информации могут быть представлены как двумерный вектор, как комплексное число или как величина (амплитуда) и фаза в полярных координатах (т. Е. Как вектор ). Распространенным методом обработки сигналов является рассмотрение квадрата амплитуды или мощности ; в этом случае полученный график называется спектром мощности .
Из-за обратимости преобразование Фурье называется представлением функции в терминах частоты, а не времени; таким образом, это представление в частотной области . У линейных операций, которые могут выполняться во временной области, есть аналоги, которые часто легче выполнять в частотной области. Частотный анализ также упрощает понимание и интерпретацию эффектов различных операций во временной области, как линейных, так и нелинейных. Например, только нелинейные или изменяющиеся во времени операции могут создавать новые частоты в частотном спектре.
На практике почти все программное обеспечение и электронные устройства, генерирующие частотные спектры, используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое работает с выборками сигнала и обеспечивает математическое приближение к полному интегральному решению. ДПФ почти всегда реализуется с помощью эффективного алгоритма, называемого быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Компоненты квадрата амплитуды ДПФ представляют собой тип спектра мощности, называемый периодограммой , который широко используется для исследования частотных характеристик бесшумных функций, таких как импульсные характеристики фильтра и оконные функции. Но периодограмма не дает выигрыша в обработке при применении к шумоподобным сигналам или даже синусоидам при низких отношениях сигнал / шум. Другими словами, дисперсия его спектральной оценки на данной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в вычислениях. Это можно смягчить путем усреднения по времени ( метод Велча [2] ) или по частоте ( сглаживание ). Метод Велча широко используется для оценки спектральной плотности (SDE). Однако методы, основанные на периодограммах, вносят небольшие отклонения, которые недопустимы в некоторых приложениях. Итак, другие альтернативы представлены в следующем разделе.
Методы
Многие другие методы спектральной оценки были разработаны для смягчения недостатков базовой периодограммы. Эти методы обычно можно разделить на непараметрические и параметрические методы. Непараметрические подходы явно оценивают ковариацию или спектр процесса, не предполагая, что процесс имеет какую-либо конкретную структуру. Некоторые из наиболее распространенных оценщиков, используемых в базовых приложениях (например , метод Велча ), являются непараметрическими оценщиками, тесно связанными с периодограммой. Напротив, параметрические подходы предполагают, что лежащий в основе стационарный случайный процесс имеет определенную структуру, которая может быть описана с использованием небольшого количества параметров (например, с использованием модели авторегрессии или скользящего среднего ). В этих подходах задача состоит в оценке параметров модели, описывающей случайный процесс.
Ниже приводится частичный список методов непараметрической оценки спектральной плотности:
- Периодограмма , квадрат модуля дискретного преобразования Фурье
- Метод Бартлетта представляет собой среднее значение периодограмм, взятых из нескольких сегментов сигнала, чтобы уменьшить дисперсию оценки спектральной плотности.
- Метод Уэлча - оконная версия метода Бартлетта, использующая перекрывающиеся сегменты.
- Multitaper - это метод на основе периодограммы, который использует несколько конусов или окон для формирования независимых оценок спектральной плотности для уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности.
- Спектральный анализ методом наименьших квадратов , основанный на аппроксимации методом наименьших квадратов известных частот
- Неравномерное дискретное преобразование Фурье используется, когда отсчеты сигнала неравномерно разнесены во времени.
- Сингулярный спектральный анализ является непараметрическим методом , который использует разложение по сингулярному значениям из ковариационной матрицы для оценки спектральной плотности
- Кратковременное преобразование Фурье
- Критический фильтр - это непараметрический метод, основанный на теории информационного поля, который может работать с шумом, неполными данными и функциями отклика прибора.
Ниже приведен частичный список параметрических методов:
- Оценка авторегрессионной модели (AR), которая предполагает, что n- я выборка коррелирует с предыдущими p выборками.
- Оценка модели скользящего среднего (MA), которая предполагает, что n- я выборка коррелирует с шумами в предыдущих p выборках.
- Оценка авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которая обобщает модели AR и MA.
- МНОЖЕСТВЕННАЯ СИГНАЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ (МУЗЫКА) - популярный метод сверхразрешения .
- Спектральная оценка максимальной энтропии - это многополюсный метод, полезный для SDE, когда ожидаются особые спектральные характеристики, такие как острые пики.
Параметрическая оценка
При параметрической спектральной оценке предполагается, что сигнал моделируется стационарным процессом, который имеет функцию спектральной плотности (SDF). это функция частоты а также параметры . [3] Тогда задача оценки сводится к оценке этих параметров.
Наиболее распространенная форма параметрической оценки SDF использует в качестве модели авторегрессионную модель. порядка . [3] : 392 A сигнальная последовательность подчиняться нулевому среднему процесс удовлетворяет уравнению
где - фиксированные коэффициенты и это процесс белого шума с нулевым средним и инновационной дисперсией . SDF для этого процесса
с участием интервал времени выборки и частота Найквиста .
Существует несколько подходов к оценке параметров. принадлежащий процесс и, следовательно, спектральная плотность: [3] : 452-453
- В оценщики Юла-Уолкера найдены путем рекурсивного решения уравнений Юла-Уолкера в течение процесс
- В оценщики Burg найдены путем обработки уравнений Юла-Уолкера как форма задачи МНК. Оценки Бурга обычно считаются более совершенными, чем оценки Юла-Уокера. [3] : 452 Бург связал их с максимальной спектральной оценкой энтропии . [4]
- В оценщики вперед-назад наименьших квадратов лечитькак проблема регрессии и решает эту проблему с помощью метода вперед-назад. Они не уступают оценщикам Бург.
- Оценщики максимального правдоподобия оценивают параметры, используя подход максимального правдоподобия . Это связано с нелинейной оптимизацией и является более сложным, чем первые три.
Альтернативные параметрические методы включают подгонку к модели скользящего среднего (MA) и полной авторегрессионной модели скользящего среднего (ARMA).
Оценка частоты
Оценка частоты - это процесс оценки комплексных частотных компонентов сигнала в присутствии шума с учетом предположений о количестве компонентов. [5] Это контрастирует с общими методами, описанными выше, которые не делают предварительных предположений о компонентах.
Один тон
Если кто-то хочет оценить только одну самую громкую частоту, можно использовать алгоритм определения высоты тона . Если доминирующая частота изменяется со временем, тогда проблема становится оценкой мгновенной частоты, как это определено в частотно-временном представлении . Методы мгновенной оценки частоты включают методы, основанные на распределении Вигнера-Вилля и функциях неоднозначности более высокого порядка . [6]
Если кто-то хочет знать все (возможно, комплексные) частотные компоненты принятого сигнала (включая передаваемый сигнал и шум), он использует многотональный подход.
Несколько тонов
Типовая модель для сигнала состоит из суммы комплексные экспоненты в присутствии белого шума ,
- .
Спектральная плотность мощности состоит из импульсные функции в дополнение к функции спектральной плотности из-за шума.
Наиболее распространенные методы оценки частоты включают определение подпространства шума для извлечения этих компонентов. Эти методы основаны на разложения на собственные части матрицы автокорреляции в подпространство сигнала и шума подпространства. После того, как эти подпространства идентифицированы, функция оценки частоты используется для нахождения компонентных частот из подпространства шума. Наиболее популярные методы оценки на основе частоты шумов подпространства являются методом Писаренко , то множественной классификация сигнала метода (МУЗЫКА), метод собственных векторов, и методы минимальной нормы.
- Метод Писаренко
- МУЗЫКА
- ,
- Метод собственных векторов
- Метод минимальной нормы
Пример расчета
Предполагать , из к представляет собой временной ряд (дискретное время) с нулевым средним. Предположим, что это сумма конечного числа периодических составляющих (все частоты положительны):
Дисперсия для функции с нулевым средним, как указано выше, определяется выражением
Если бы эти данные были выборками, взятыми из электрического сигнала, это была бы его средняя мощность (мощность - это энергия в единицу времени, поэтому она аналогична дисперсии, если энергия аналогична квадрату амплитуды).
Теперь, для простоты, предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени, поэтому мы переходим к пределу как Если средняя мощность ограничена, что почти всегда имеет место в действительности, то существует следующий предел, который представляет собой дисперсию данных.
Опять же, для простоты, мы перейдем к непрерывному времени и предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени в обоих направлениях. Тогда эти две формулы становятся
а также
Среднеквадратическое значение является , поэтому дисперсия является Следовательно, вклад в среднюю мощность поступающий от компонента с частотой является Все эти вклады составляют среднюю мощность
Тогда мощность как функция частоты равна и его статистическая кумулятивная функция распределения будет
- ступенчатая функция , монотонно неубывающая. Его скачки происходят на частотах периодических составляющих, а значение каждого скачка - это мощность или дисперсия этого компонента.
Дисперсия - это ковариация данных с самими собой. Если мы теперь рассмотрим те же данные, но с запаздыванием, Мы можем взять ковариации из с участием , и определим это как автокорреляционную функцию сигнала (или данных) :
Если он существует, то это четная функция от Если средняя мощность ограничена, то существует всюду, конечна и ограничена что является средней мощностью или дисперсией данных.
Можно показать, что можно разложить на периодические составляющие с теми же периодами, что и :
Фактически это спектральное разложение на разных частотах, и связано с распределением мощности по частотам: амплитуда частотной составляющей - его вклад в среднюю мощность сигнала.
Спектр мощности в этом примере не является непрерывным и, следовательно, не имеет производной, и, следовательно, этот сигнал не имеет функции спектральной плотности мощности. В общем, спектр мощности обычно представляет собой сумму двух частей: линейчатого спектра, такого как в этом примере, который не является непрерывным и не имеет функции плотности, и остатка, который является абсолютно непрерывным и имеет функцию плотности. .
Смотрите также
- Периодограмма
- SigSpec
- Спектрограмма
- Частотно-временной анализ
- Частотно-временное представление
- Малая вероятность
- Спектральное распределение мощности
Рекомендации
- ↑ P Stoica и R Moses, Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005.
- ^ Велч, PD (1967), «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени по коротким модифицированным периодограммам», IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics , AU-15 (2): 70 -73, DOI : 10,1109 / TAU.1967.1161901
- ^ а б в г Персиваль, Дональд Б.; Уолден, Эндрю Т. (1992). Спектральный анализ для физических приложений . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521435413.
- ^ Бург, JP (1967) "Максимальный спектральный анализ энтропии", Труды 37-го собрания Общества геофизиков-разведчиков , Оклахома-Сити, Оклахома.
- ^ Хейс, Монсон Х., Статистическая обработка и моделирование цифровых сигналов , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8 .
- ^ Лерга, Джонатан. «Обзор методов оценки мгновенной частоты сигнала» (PDF) . Университет Риеки . Проверено 22 марта 2014 .
дальнейшее чтение
- Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-063751-2.
- Пристли, МБ (1991). Спектральный анализ и временные ряды . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-564922-3.
- Stoica, P .; Моисей, Р. (2005). Спектральный анализ сигналов . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-113956-5.
- Томсон, DJ (1982). «Спектральная оценка и гармонический анализ». Труды IEEE . 70 (9): 1055–1096. CiteSeerX 10.1.1.471.1278 . DOI : 10,1109 / PROC.1982.12433 .