Периодограмма

В обработке сигналов , A Периодограмма представляет собой оценку спектральной плотности сигнала. Термин был введен Артуром Шустером в 1898 году. ^[1] Сегодня периодограмма является компонентом более сложных методов (см. Спектральная оценка ). Это наиболее распространенный инструмент для исследования амплитудно-частотных характеристик КИХ-фильтров и оконных функций . Анализаторы спектра БПФ также реализованы в виде временной последовательности периодограмм.

Определение [ править ]

Сегодня используются как минимум два разных определения. ^[2] Один из них включает усреднение по времени, ^[3] а другой нет. ^[4] Время усреднения также входит в компетенцию других статей ( метод Бартлетта и метод Уэлча ). Эта статья не об усреднении по времени. Представляющее интерес определение здесь состоит в том, что спектральная плотность мощности непрерывной функции   является преобразованием Фурье ее автокорреляционной функции (см. Теорему о взаимной корреляции , спектральную плотность энергии и теорему Винера – Хинчина ) :${\ Displaystyle х (т),}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {Икс (т) \ АСТ Икс (-t) \} = Икс (е) \ CDOT X ^ {*} (е) = \ влево | Х (е) \ вправо | ^ {2}.}$

Вычисление [ править ]

Спектр мощности (возведенный в квадрат) двух синусоидальных базисных функций, рассчитанный методом периодограммы.

Два спектра мощности (возведенные в квадрат) (прямоугольные функции и оконные функции Хэмминга плюс фоновый шум), рассчитанные методом периодограммы.

При достаточно малых значениях параметра T можно наблюдать сколь угодно точное приближение для X ( f ) в области     функции:${\ Displaystyle - {\ tfrac {1} {2T}} <е <{\ tfrac {1} {2T}}}$

${\ Displaystyle X_ {1 / T} (е) \ \ треугольник \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} X \ влево (fk / T \ вправо),}$

который точно определяется выборками x ( nT ), которые охватывают ненулевую длительность x ( t )  (см. Преобразование Фурье в дискретном времени ).

И при достаточно больших значениях параметра N ,   могут быть оценены при сколь угодно близкой частоте путем суммирования вида:${\ Displaystyle X_ {1 / T} (е)}$

${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},}$

где k - целое число. Периодичность     позволяет очень просто записать это в терминах дискретного преобразования Фурье :${\displaystyle e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}}$

${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\underbrace {\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{DFT}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)},}$

где - периодическое суммирование:  ${\displaystyle x_{_{N}}}$${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$

При оценке для всех целых чисел k от 0 до N -1 массив:

${\displaystyle S\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\left|\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\right|^{2}}$

это периодограмма . ^{[4] [5] [6]}

Приложения [ править ]

Внизу показана периодограмма Проксимы Центавра b . ^[7]

Когда периодограмма используется для изучения подробных характеристик КИХ-фильтра или оконной функции , параметр N выбирается так, чтобы он был кратен ненулевой длительности последовательности x [ n ] , которая называется заполнением нулями (см. § Выборка DTFT ). ^[A]   Когда он используется для реализации банка фильтров , N является несколькими частями ненулевой длительности последовательности x [ n ] (см. § Выборка DTFT ).

Один из недостатков периодограммы заключается в том, что дисперсия на заданной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в вычислениях. Он не обеспечивает усреднение, необходимое для анализа шумоподобных сигналов или даже синусоид при низких отношениях сигнал / шум. Оконные функции и импульсные характеристики фильтра не имеют шума, но для многих других сигналов требуются более сложные методы спектральной оценки . Две альтернативы используют периодограммы как часть процесса:

• Метод усредненных периодограмм , ^[8]   более известный как метод Уэлша , ^{[9] [10]}   делит длинный х [п] последовательности на несколько короче, и , возможно , перекрывающих друг друга, подпоследовательности. Он вычисляет оконную периодограмму каждой из них и вычисляет среднее значение массива, то есть массив, в котором каждый элемент является средним значением соответствующих элементов всех периодограмм. Для стационарных процессов это уменьшает дисперсию шума каждого элемента примерно на коэффициент, обратный количеству периодограмм.
• Сглаживание - это метод усреднения по частоте, а не по времени. Сглаженную периодограмму иногда называют спектральным графиком . ^{[11] [12]}

Методы, основанные на периодограммах, вносят небольшие отклонения, которые недопустимы в некоторых приложениях. Другие методы, не основанные на периодограммах, представлены в статье об оценке спектральной плотности .

См. Также [ править ]

• Соответствующий фильтр
• Отфильтрованная обратная проекция (преобразование Радона)
• Метод Уэлча
• Метод Бартлетта
• Дискретное преобразование Фурье
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодограмм в данных, которые не равномерно разнесены
• MUltiple SIgnal Classification (MUSIC), популярный параметрический метод сверхразрешения
• САМВ

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]