При обработке сигналов фильтр с конечной импульсной характеристикой ( КИХ ) представляет собой фильтр , импульсный отклик которого (или отклик на любой вход конечной длины) имеет конечную длительность, поскольку он устанавливается на ноль за конечное время. Это контрастирует с фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), которые могут иметь внутреннюю обратную связь и могут продолжать реагировать бесконечно (обычно с затуханием).
Импульсная характеристика (то есть, выходной сигнал в ответ на дельту Кронекера вход) из N - го КОГО - фильтра -порядка дискретного времени длится ровно выборок (от первого ненулевого элемента до последнего ненулевого элемента) перед тем, как он станет равным нулю.
КИХ-фильтры могут быть дискретными или непрерывными , а также цифровыми или аналоговыми .
Определение
Для причинного КИХ-фильтра с дискретным временем порядка N каждое значение выходной последовательности представляет собой взвешенную сумму самых последних входных значений :
где :
- входной сигнал,
- выходной сигнал,
- - порядок фильтрации; анфильтр th -order имеет условия в правой части
- - значение импульсной характеристики в i- й момент для из -заказать КИХ-фильтр. Если фильтр является КИХ-фильтром прямой формы, тогда также коэффициент фильтра.
Это вычисление также известно как дискретная свертка .
В в этих терминах обычно упоминаются как ответвления на основе структуры линии задержки с ответвлениями , которая во многих реализациях или блок-схемах обеспечивает задержанные входные данные для операций умножения. Например, можно говорить о фильтре 5-го порядка / 6-ти отводного сигнала.
Импульсная характеристика фильтра, как определено, отлична от нуля в течение конечной продолжительности. Включая нули, импульсная характеристика представляет собой бесконечную последовательность :
Если КИХ-фильтр не является причинно-следственным, диапазон ненулевых значений в его импульсной характеристике может начаться до того, как , с соответствующим обобщением определяющей формулы.
Характеристики
КИХ-фильтр имеет ряд полезных свойств, которые иногда делают его предпочтительнее фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). КИХ-фильтры:
- Не требовать обратной связи. Это означает, что любые ошибки округления не усугубляются суммированием итераций. Одна и та же относительная ошибка возникает в каждом вычислении. Это также упрощает реализацию.
- По своей сути стабильны , так как выход представляет собой сумму конечного числа конечных кратных входных значений, поэтому не может быть больше, чем умноженное на наибольшее значение, появляющееся во входных данных.
- Может быть легко сконструирован с линейной фазой , сделав последовательность коэффициентов симметричной. Это свойство иногда требуется для приложений, чувствительных к фазе, например, для передачи данных, сейсмологии , фильтров кроссовера и мастеринга .
Основным недостатком КИХ-фильтров является то, что требуется значительно большая вычислительная мощность в процессоре общего назначения по сравнению с БИХ-фильтром с аналогичной резкостью или избирательностью , особенно когда требуются низкочастотные (относительно частоты дискретизации) срезающие. Однако многие процессоры цифровых сигналов предоставляют специализированные аппаратные функции, позволяющие сделать КИХ-фильтры примерно такими же эффективными, как БИХ-фильтры для многих приложений.
Частотный отклик
Влияние фильтра на последовательность описывается в частотной области теоремой свертки :
- а также
где операторы а также соответственно обозначают преобразование Фурье с дискретным временем (ДВПФ) и его обратное. Следовательно, комплексная мультипликативная функция- частотная характеристика фильтра . Он определяется рядом Фурье :
где добавленный индекс означает 2π-периодичность. Здесьпредставляет частоту в нормализованных единицах ( радиан / отсчет ). Замена пользуется популярностью во многих программах проектирования фильтров, меняет единицы измерения частоты для циклов / выборки и периодичности до 1. [A] Когда последовательность x [n] имеет известную частоту дискретизации, выборок в секунду , замена изменяет единицы частоты до циклов в секунду ( герц ) и периодичность до Значение соответствует частоте Гц циклов / отсчет , что является частотой Найквиста .
также может быть выражено через Z-преобразование импульсной характеристики фильтра:
Дизайн фильтра
КИХ-фильтр разработан путем нахождения коэффициентов и порядка фильтрации, которые соответствуют определенным спецификациям, которые могут находиться во временной области (например, согласованный фильтр ) и / или в частотной области (наиболее часто). Согласованные фильтры выполняют взаимную корреляцию между входным сигналом и известной формой импульса. Свертка FIR - это взаимная корреляция между входным сигналом и обращенной во времени копией импульсной характеристики. Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра «разрабатывается» путем выборки известной формы импульса и использования этих выборок в обратном порядке в качестве коэффициентов фильтра. [1]
Когда требуется конкретная частотная характеристика, используются несколько различных методов проектирования:
- Метод оформления окон
- Метод частотной выборки
- Метод наименьшей MSE (среднеквадратичной ошибки)
- Метод Паркс-Макклеллана (также известный как метод Equiripple, Optimal или Minimax). Алгоритм обмена Ремеза обычно используется , чтобы найти оптимальный набор АЧХ является равномерно пульсирующей коэффициентов. Здесь пользователь задает требуемую частотную характеристику, весовую функцию на наличие ошибок из этого ответа, и порядок фильтра N . Затем алгоритм находит наборкоэффициенты, минимизирующие максимальное отклонение от идеала. Интуитивно это находит фильтр, который максимально приближен к желаемому отклику, учитывая, что толькокоэффициенты могут быть использованы. Этот метод особенно прост на практике, поскольку по крайней мере один текст [2] включает программу, которая берет желаемый фильтр и N и возвращает оптимальные коэффициенты.
- КИХ-фильтры Equiripple могут быть разработаны с использованием алгоритмов БПФ. [3] Алгоритм является итеративным по своей природе. ДПФ исходной конструкции фильтра вычисляется с использованием алгоритма БПФ (если начальная оценка недоступна, можно использовать h [n] = delta [n]). В области Фурье или БПФ частотная характеристика корректируется в соответствии с желаемыми спецификациями, а затем вычисляется обратное БПФ. Во временной области сохраняются только первые N коэффициентов (остальные коэффициенты устанавливаются равными нулю). Затем процесс повторяется итеративно: FFT вычисляется еще раз, коррекция применяется в частотной области и так далее.
Программные пакеты, такие как MATLAB , GNU Octave , Scilab и SciPy, предоставляют удобные способы применения этих различных методов.
Метод оформления окон
В методе проектирования окна сначала разрабатывают идеальный БИХ-фильтр, а затем обрезают бесконечную импульсную характеристику, умножая ее на оконную функцию конечной длины . Результатом является фильтр с конечной импульсной характеристикой, частотная характеристика которого изменена по сравнению с БИХ-фильтром. Умножив бесконечный импульс с помощью оконной функции в результатах временной области в частотных характеристиках БЕГО быть свернуто с преобразованием Фурье (или ДВПФ) оконной функции. Если главный лепесток окна узкий, составной частотный отклик остается близким к таковому у идеального БИХ-фильтра.
Идеальный ответ обычно имеет прямоугольную форму, а соответствующий БИХ является функцией sinc . Результатом свертки частотной области является то, что края прямоугольника сужаются, а в полосе пропускания и полосе задерживания появляются рябь. Работая в обратном направлении, можно указать наклон (или ширину) сужающейся области ( переходной полосы ) и высоту ряби и, таким образом, получить параметры частотной области соответствующей оконной функции. Возврат к импульсной характеристике может быть выполнен путем повторения программы проектирования фильтра для нахождения минимального порядка фильтра. Другой метод состоит в том, чтобы ограничить набор решений параметрическим семейством окон Кайзера , которое обеспечивает отношения замкнутой формы между параметрами временной и частотной областей. В общем, этот метод не обеспечивает минимально возможного порядка фильтрации, но он особенно удобен для автоматизированных приложений, которым требуется динамическое проектирование фильтров «на лету».
Метод оконного дизайна также полезен для создания эффективных полуполосных фильтров , поскольку соответствующая функция sinc равна нулю в каждой другой точке выборки (кроме центральной). Произведение с оконной функцией не изменяет нули, поэтому почти половина коэффициентов конечной импульсной характеристики равны нулю. Соответствующая реализация вычислений FIR может использовать это свойство для удвоения эффективности фильтра.
Метод наименьшей среднеквадратичной ошибки (MSE)
Цель:
- Чтобы разработать FIR-фильтр в смысле MSE, мы минимизируем среднеквадратичную ошибку между полученным фильтром и желаемым фильтром.
- , где частота дискретизации, - спектр полученного фильтра, а - спектр желаемого фильтра.
Метод:
- Учитывая N- точечный КИХ-фильтр , а также .
- Шаг 1. Предположим даже симметричный. Тогда дискретное временное преобразование Фурье определяется как
- Шаг 2: Рассчитайте среднеквадратичную ошибку.
- Следовательно,
- Шаг 3. Минимизируйте среднеквадратичную ошибку, выполнив частную производную MSE по
- После организации у нас есть
- Шаг 4: изменить вернуться к презентации
- а также
Кроме того, мы можем относиться к важности полосы пропускания и полосы задерживания по-разному в соответствии с нашими потребностями, добавляя взвешенную функцию, Тогда ошибка MSE становится
Пример скользящей средней
Скользящий средний фильтр является очень простым FIR фильтром. Иногда его называют фильтром товарного вагона , особенно если за ним следует прореживание . Коэффициенты фильтра,, находятся с помощью следующего уравнения:
Чтобы предоставить более конкретный пример, мы выбираем порядок фильтров:
Импульсная характеристика результирующего фильтра :
На рисунке (а) справа показана блок-схема фильтра скользящего среднего 2-го порядка, обсуждаемого ниже. Передаточная функция :
На рис. (Б) справа показана соответствующая диаграмма полюс – ноль . Нулевая частота (DC) соответствует (1, 0), положительные частоты увеличиваются против часовой стрелки по кругу до частоты Найквиста в (-1, 0). Два полюса расположены в начале координат, а два нуля расположены в, .
Частотная характеристика, выраженная в нормализованной частоте ω , равна :
Рис. (C) справа показывает амплитуду и фазовую составляющую Но такие графики также можно создать, выполнив дискретное преобразование Фурье (ДПФ) импульсной характеристики. [B] И из-за симметрии программное обеспечение для проектирования фильтров или просмотра часто отображает только область [0, π]. График величины показывает, что фильтр скользящего среднего пропускает низкие частоты с коэффициентом усиления, близким к 1, и ослабляет высокие частоты, и, таким образом, является грубым фильтром нижних частот . Фазовый график является линейным, за исключением разрывов на двух частотах, где величина стремится к нулю. Размер разрывов равен π, что соответствует изменению знака. Они не влияют на свойство линейной фазы. Этот факт проиллюстрирован на рис. (D).
Смотрите также
- Электронный фильтр
- Фильтр (обработка сигнала)
- Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)
- Z-преобразование (в частности, линейное разностное уравнение с постоянным коэффициентом )
- Передаточная функция FIR
- Дизайн фильтра
- Каскадный интегратор – гребенчатый фильтр
- Компактная опора
Заметки
- ^ Исключением является MATLAB, который предпочитает единицы полупериодов / выборка = циклы / 2 выборки , потому что частота Найквиста в этих единицах равна 1, удобный выбор для программного обеспечения построения графиков, которое отображает интервал от 0 до частоты Найквиста.
- ^ См. § Выборка DTFT .
Рекомендации
- ^ Оппенгейм, Алан В., Willsky, Алан С., Янг, Ian T., 1983: Сигналы и системы, стр. 256 (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-809731-3
- ^ Рабинер, Лоуренс Р. и Голд, Бернард, 1975: Теория и применение цифровой обработки сигналов (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4
- ^ AE Cetin, ON Gerek, Y. Yardimci, "Equiripple FIR filter by the FFT algorithm", IEEE Signal Processing Magazine, стр. 60–64, март 1997.