В математике (в частности, функциональном анализе ) свертка - это математическая операция над двумя функциями ( f и g ), которая дает третью функцию (), который выражает то, как форма одного изменяется другим. Термин свертка относится как к функции результата, так и к процессу ее вычисления. Он определяется как интеграл произведения двух функций после того, как одна была обращена и сдвинута. Интеграл вычисляется для всех значений сдвига, получая функцию свертки.
Некоторые особенности свертки аналогичны взаимной корреляции : для действительных функций непрерывной или дискретной переменной она отличается от взаимной корреляции () только в том, что либо f ( x ), либо g ( x ) отражается относительно оси y; таким образом, это взаимная корреляция f ( x ) и g (- x ) или f (- x ) и g ( x ) . [A] Для комплекснозначных функций оператор взаимной корреляции является сопряженным к оператору свертки.
Свертка имеет приложения, которые включают вероятность , статистику , акустику , спектроскопию , обработку сигналов и изображений , машиностроение , физику , компьютерное зрение и дифференциальные уравнения . [1]
Свертка может быть определена для функций в евклидовом пространстве и других группах . [ необходимая цитата ] Например, периодические функции , такие как преобразование Фурье с дискретным временем , могут быть определены на окружности и свернуты посредством периодической свертки . (См. Строку 18 в DTFT § Свойства .) Дискретная свертка может быть определена для функций на множестве целых чисел .
Обобщения свертки находят применения в области численного анализа и численной линейной алгебры , а также при разработке и реализации фильтров с конечной импульсной характеристикой при обработке сигналов. [ необходима цитата ]
Вычисление, обратное операции свертки, известно как деконволюция .
Определение
Свертка f и g обозначается как f ∗ g , что означает оператор с символом ∗ . [B] Он определяется как интеграл произведения двух функций после обращения и сдвига одной. По сути, это особый вид интегрального преобразования :
Эквивалентное определение (см. Коммутативность ):
Хотя символ t используется выше, он не обязательно должен представлять временную область. Но в этом контексте формулу свертки можно описать как средневзвешенное значение функции f ( τ ) в момент t, когда вес задается как g (- τ ), просто сдвинутым на величину t . При изменении t весовая функция выделяет различные части входной функции.
Для функций f , g, поддерживаемых только на [0, ∞) (т. Е. Ноль для отрицательных аргументов), пределы интегрирования могут быть усечены, что приведет к:
Для многомерной формулировки свертки см. Область определения (ниже).
Обозначение
Общепринятое соглашение о технических обозначениях: [2]
который следует толковать осторожно, чтобы избежать путаницы. Например, f ( t ) ∗ g ( t - t 0 ) эквивалентно ( f ∗ g ) ( t - t 0 ) , но f ( t - t 0 ) ∗ g ( t - t 0 ) фактически эквивалентно к ( f ∗ g ) ( t - 2 t 0 ) . [3]
Производные
Свертка описывает выходные данные (в терминах входных данных) важного класса операций, известных как линейные инвариантные во времени (LTI). См. Теорию систем LTI для вывода свертки в результате ограничений LTI. Что касается преобразований Фурье входа и выхода операции LTI, новые частотные компоненты не создаются. Существующие только модифицируются (амплитуда и / или фаза). Другими словами, выходное преобразование - это точечное произведение входного преобразования на третье преобразование (известное как передаточная функция ). См. Теорему о свертке для вывода этого свойства свертки. И наоборот, свертка может быть получена как обратное преобразование Фурье поточечного произведения двух преобразований Фурье.
Визуальное объяснение
Визуальные объяснения свертки | |
---|---|
| |
| |
|
Исторические события
Одно из первых применений интеграла свертки появилось при выводе Даламбером теоремы Тейлора в книге «Recherches sur différents points importants du système du monde», опубликованной в 1754 году [4].
Также выражение типа:
используется Сильвестром Франсуа Лакруа на странице 505 его книги « Трактат о различиях и сериях» , которая является последним из трех томов энциклопедической серии: Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral , Chez Courcier, Paris, 1797–1800. [5] Вскоре после этого операции свертки появляются в работах Пьера Симона Лапласа , Жан-Батиста Жозефа Фурье , Симеона Дени Пуассона и других. Сам термин не получил широкого распространения до 1950-х или 60-х годов. До этого он был известен как иногда Faltung (что означает складывающиеся в немецком ), состав продукта , суперпозиция интеграл и интеграл Карсона . [6] Тем не менее, он появился еще в 1903 году, хотя определение довольно незнакомо для более старых применений. [7] [8]
Операция:
является частным случаем композиционных произведений, рассмотренным итальянским математиком Вито Вольтеррой в 1913 году [9].
Круговая свертка
Когда функция g T является периодической с периодом T , то для функций f , таких, что f ∗ g T существует, свертка также периодична и идентична:
где t 0 - произвольный выбор. Суммирование называется периодическим суммированием функции f .
Когда g T является периодическим суммированием другой функции g , тогда f ∗ g T называется круговой или циклической сверткой f и g .
И если периодическое суммирование выше заменяются е Т , операция называется периодической сверткой х Т и г Т .
Дискретная свертка
Для комплекснозначных функций F , г , определенной на множестве Z целых чисел, то дискретная свертка из е и г определяется по формуле: [10]
или эквивалентно (см. коммутативность ):
Свертка двух конечных последовательностей определяется расширением последовательностей до функций с конечным носителем на множестве целых чисел. Когда последовательности являются коэффициентами двух многочленов , тогда коэффициенты обычного произведения двух многочленов представляют собой свертку исходных двух последовательностей. Это известно как произведение Коши коэффициентов последовательностей.
Таким образом, когда g имеет конечный носитель в множестве(представляя, например, конечную импульсную характеристику ), может использоваться конечное суммирование: [11]
Круговая дискретная свертка
Когда функция g N является периодической с периодом N , то для функций f , таких, что f ∗ g N существует, свертка также периодична и идентична:
Суммирование по k называется периодическим суммированием функции f .
Если г N представляет собой периодическое суммирование другой функции, г , то е * г N известен как круговая свертку из е и г .
Когда ненулевые длительности как f, так и g ограничены интервалом [0, N −1] , f ∗ g N сводится к этим общим формам:
( Уравнение 1 )
Обозначение ( F * N г ) для циклической свертки означает свертку по циклической группе из целых чисел по модулю N .
Круговая свертка возникает чаще всего в контексте быстрой свертки с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Алгоритмы быстрой свертки
Во многих ситуациях дискретные свертки можно преобразовать в циклические свертки, чтобы можно было использовать быстрые преобразования со свойством свертки для реализации вычислений. Например, свертка последовательностей цифр - это операция ядра при умножении многозначных чисел, которая, следовательно, может быть эффективно реализована с помощью методов преобразования ( Knuth 1997 , §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003 , §8.2).
Уравнение 1 требует N арифметических операций для каждого выходного значения и N 2 операций для N выходов. Это можно значительно уменьшить с помощью любого из нескольких быстрых алгоритмов. Цифровая обработка сигналов и другие приложения обычно используют алгоритмы быстрой свертки, чтобы снизить стоимость свертки досложностиO ( N log N ).
Наиболее распространенные алгоритмы быстрой свертки используют алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) с помощью теоремы круговой свертки . В частности, циклическая свертка двух последовательностей конечной длины находится путем выполнения БПФ каждой последовательности, поточечного умножения и последующего обратного БПФ. Свертки типа, определенного выше, затем эффективно реализуются с использованием этого метода в сочетании с нулевым расширением и / или отбрасыванием частей вывода. Другие алгоритмы быстрой свертки, такие как алгоритм Шёнхаге – Штрассена или преобразование Мерсенна [12], используют быстрые преобразования Фурье в других кольцах .
Если одна последовательность намного длиннее другой, нулевое расширение более короткой последовательности и быстрая циклическая свертка не являются наиболее эффективным с вычислительной точки зрения доступным методом. [13] Вместо это разложение больше последовательности на блоки и каждый блок сверток позволяет быстрее алгоритмы , такие как Перекрытие-метод сохранению и сложение с перекрытием метода . [14] Гибридный метод свертки, сочетающий блочные и FIR- алгоритмы, обеспечивает нулевую задержку ввода-вывода, что полезно для вычислений свертки в реальном времени. [15]
Область определения
Свертка двух комплексных функций на R d сама по себе является комплексной функцией на R d , определяемой следующим образом:
и хорошо определен только в том случае, если f и g убывают на бесконечности достаточно быстро, чтобы существовал интеграл. Условия существования свертки могут быть сложными, так как раздутие g на бесконечности может быть легко компенсировано достаточно быстрым убыванием f . Таким образом, вопрос о существовании может включать разные условия на f и g :
Компактно поддерживаемые функции
Если f и g - непрерывные функции с компактным носителем , то их свертка существует, а также непрерывна и имеет компактный носитель ( Hörmander 1983 , глава 1). В более общем смысле, если одна функция (скажем, f ) имеет компактный носитель, а другая локально интегрируема , то свертка f ∗ g корректно определена и непрерывна.
Свертка f и g также хорошо определена, когда обе функции локально интегрируемы с квадратом на R и имеют носитель на интервале вида [ a , + ∞) (или обе функции поддерживаются на [−∞, a ] ).
Интегрируемые функции
Свертка f и g существует, если обе функции f и g являются интегрируемыми по Лебегу функциями в L 1 ( R d ) , и в этом случае f ∗ g также интегрируем ( Stein & Weiss 1971 , теорема 1.3). Это следствие теоремы Тонелли . Это также верно для функций из L 1 при дискретной свертке или, в более общем смысле, для свертки на любой группе .
Аналогично, если f ∈ L 1 ( R d ) и g ∈ L p ( R d ), где 1 ≤ p ≤ ∞ , то f ∗ g ∈ L p ( R d ) и
В частном случае p = 1 это показывает, что L 1 является банаховой алгеброй относительно свертки (и равенство двух сторон имеет место, если f и g неотрицательны почти всюду).
В более общем смысле неравенство Юнга означает, что свертка - это непрерывное билинейное отображение между подходящими пространствами L p . В частности, если 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ удовлетворяют:
тогда
так что свертка является непрерывным билинейным отображением из L p × L q в L r . Неравенство Юнга для свертки также верно в других контекстах (круговая группа, свертка на Z ). Предыдущее неравенство не является точным на вещественной прямой: когда 1 < p , q , r <∞ , существует постоянная B p , q <1 такая, что:
Оптимальное значение B p , q было обнаружено в 1975 г. [16] и независимо в 1976 г. [17] см. Неравенство Браскампа – Либа .
Более сильная оценка верна, если 1 < p , q , r <∞ :
где - слабая норма L q . Свертка также определяет билинейное непрерывное отображение для , из-за слабого неравенства Юнга: [18]
Функции быстрого распада
В дополнение к функциям с компактным носителем и интегрируемым функциям, функции, которые имеют достаточно быстрое затухание на бесконечности, также могут быть свернуты. Важная особенность свертки состоит в том, что если f и g быстро убывают, то f ∗ g также быстро убывает. В частности, если f и g - быстро убывающие функции , то свертка f ∗ g тоже . В сочетании с тем фактом, что свертка коммутирует с дифференцированием (см. # Свойства ), отсюда следует, что класс функций Шварца замкнут относительно свертки ( Stein & Weiss 1971 , теорема 3.3).
Распределения
При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или двух распределений. Если f - функция с компактным носителем, а g - распределение, то f ∗ g - гладкая функция, определяемая формулой распределения, аналогичной
В более общем смысле, можно расширить определение свертки уникальным способом, так что ассоциативный закон
остается в силе в случае, когда f - распределение, а g - распределение с компактным носителем ( Hörmander 1983 , §4.2).
Меры
Свертка любых двух борелевских мер ц и ν из ограниченной вариации является меройопределено ( Рудин 1962 )
В частности,
где измеримое множество и является индикаторной функцией из.
Это согласуется со сверткой, определенной выше, когда μ и ν рассматриваются как распределения, а также со сверткой L 1 функций, когда μ и ν абсолютно непрерывны относительно меры Лебега.
Свертка мер также удовлетворяет следующей версии неравенства Юнга
где норма - это полная вариация меры. Поскольку пространство мер ограниченной вариации является банаховым пространством , свертку мер можно обрабатывать стандартными методами функционального анализа, которые могут не применяться для свертки распределений.
Характеристики
Алгебраические свойства
Свертка определяет произведение на линейном пространстве интегрируемых функций. Это произведение удовлетворяет следующим алгебраическим свойствам, которые формально означают, что пространство интегрируемых функций с произведением, заданным сверткой, является коммутативной ассоциативной алгеброй без единицы ( Strichartz 1994 , §3.3). Другие линейные пространства функций, такие как пространство непрерывных функций с компактным носителем, замкнуты относительно свертки и, таким образом, также образуют коммутативные ассоциативные алгебры.
- Коммутативность
Доказательство: по определению.
Изменение переменной интегрирования на результат следует.
- Ассоциативность
Доказательство: это следует из использования теоремы Фубини (т. Е. Двойные интегралы могут быть вычислены как повторные интегралы в любом порядке).
- Распределительность
Доказательство. Это следует из линейности интеграла.
- Ассоциативность со скалярным умножением
для любого действительного (или комплексного) числа .
- Мультипликативная идентичность
Никакая алгебра функций не обладает тождеством для свертки. Отсутствие идентичности обычно не является серьезным неудобством, поскольку большинство наборов функций, для которых выполняется свертка, могут быть свернуты с помощью дельта-распределения (унитарный импульс с центром в нуле) или, по крайней мере (как в случае с L 1 ) допускают приближения к тождеству . Однако линейное пространство распределений с компактным носителем допускает тождество при свертке. Конкретно,
где δ - дельта-распределение.
- Обратный элемент
Некоторые распределения S имеют обратный элемент S −1 для свертки, который тогда должен удовлетворять
из которого может быть получена явная формула для S −1 . Множество обратимых распределений при свертке образует абелеву группу .
- Комплексное сопряжение
- Связь с дифференциацией
Доказательство:
- Отношения с интеграцией
- Если а также тогда
Интеграция
Если f и g - интегрируемые функции, то интеграл от их свертки на всем пространстве просто получается как произведение их интегралов:
Это следует из теоремы Фубини . Тот же самый результат верен, если f и g только предполагаются неотрицательными измеримыми функциями по теореме Тонелли .
Дифференциация
В случае одной переменной
где d / dx - производная . В более общем плане, в случае функций нескольких переменных, аналогичная формула верна с частной производной :
Частным следствием этого является то, что свертку можно рассматривать как «сглаживающую» операцию: свертка f и g дифференцируема столько раз, сколько f и g в сумме.
Эти тождества выполняются при точном условии, что f и g абсолютно интегрируемы и по крайней мере один из них имеет абсолютно интегрируемую (L 1 ) слабую производную как следствие неравенства свертки Юнга . Например, когда f непрерывно дифференцируема с компактным носителем, а g - произвольная локально интегрируемая функция,
Эти тождества также имеют гораздо более широкое значение в смысле умеренных распределений, если одно из f или g является быстро убывающим умеренным распределением , умеренным распределением с компактным носителем или функцией Шварца, а другое - умеренным распределением. С другой стороны, две положительно интегрируемые и бесконечно дифференцируемые функции могут иметь нигде не непрерывную свертку.
В дискретном случае оператор разности D f ( n ) = f ( n + 1) - f ( n ) удовлетворяет аналогичному соотношению:
Теорема свертки
Теорема о свертке утверждает, что
где обозначает преобразование Фурье от, а также - константа, которая зависит от конкретной нормализации преобразования Фурье. Версии этой теоремы также верны для преобразования Лапласа , двустороннего преобразования Лапласа , Z-преобразования и преобразования Меллина .
См. Также менее тривиальную теорему Титчмарша о свертке .
С другой стороны, если это преобразование Фурье матрицы , то
,
где является продуктом расщепления граней , [19] [20] [21] [22] [23] обозначает произведение Кронекера ,обозначает произведение Адамара (этот результат является развитием свойств графического эскиза [24] ).
Трансляционная эквивалентность
Свертка коммутирует с переводами, что означает, что
где τ x f - перенос функции f на x, определяемый формулой
Если f - функция Шварца , то τ x f - свертка со сдвинутой дельта-функцией Дирака τ x f = f ∗ τ x δ . Таким образом, трансляционная инвариантность свертки функций Шварца является следствием ассоциативности свертки.
Кроме того, при определенных условиях свертка является наиболее общей операцией, инвариантной к трансляции. Неформально говоря, имеет место следующее
- Предположим, что S - ограниченный линейный оператор, действующий на функции, коммутирующий со сдвигами: S ( τ x f ) = τ x ( Sf ) для всех x . Тогда S задается в виде свертки с функцией (или распределением) g S ; то есть Sf = g S ∗ f .
Таким образом, некоторые операции, инвариантные к трансляции, можно представить в виде свертки. Свертки играют важную роль в изучении систем , не зависящих от времени , и особенно теории систем LTI . Функция , представляющий г S является импульсной характеристикой преобразования S .
Более точная версия процитированной выше теоремы требует указания класса функций, на которых определена свертка, а также требует дополнительно предположить, что S должен быть непрерывным линейным оператором относительно соответствующей топологии . Известно, например, что каждый непрерывный инвариантный относительно сдвига линейный непрерывный оператор на L 1 является сверткой с конечной борелевской мерой . В более общем смысле, любой непрерывный инвариантный линейный оператор на L p для 1 ≤ p <∞ является сверткой с умеренным распределением , преобразование Фурье которой ограничено. А именно, все они задаются ограниченными множителями Фурье .
Свертки на группах
Если G - подходящая группа, наделенная мерой λ, и если f и g - действительные или комплекснозначные интегрируемые функции на G , то мы можем определить их свертку следующим образом:
В общем, он не коммутативен. В типичных интересующих нас случаях G - локально компактная топологическая группа Хаусдорфа, а λ - (левая) мера Хаара . В этом случае, если G не является унимодулярным , определенная таким образом свертка не совпадает с. Предпочтение одного перед другим сделано так, что свертка с фиксированной функцией g коммутирует с левым переносом в группе:
Кроме того, соглашение также требуется для согласования с определением свертки мер, приведенным ниже. Однако с правой вместо левой меры Хаара последний интеграл предпочтительнее первого.
На локально компактных абелевых группах верна версия теоремы о свертке : преобразование Фурье свертки является поточечным произведением преобразований Фурье. Группа окружностей T с мерой Лебега является непосредственным примером. Для фиксированного g в L 1 ( T ) мы имеем следующий знакомый оператор, действующий в гильбертовом пространстве L 2 ( T ):
Оператор Т является компактным . Непосредственный расчет показывает, что сопряженный к нему T * является сверткой с
По свойству коммутативности упомянутых выше, Т является нормальным : Т * Т = ТТ *. Кроме того, T коммутирует с операторами трансляции. Рассмотрим семейство операторов S, состоящее из всех таких сверток и операторов трансляции. Тогда S - коммутирующее семейство нормальных операторов. Согласно спектральной теории , существует ортогональный базис { ч K } , которые одновременно диагонализирует S . Это характеризует извилины на окружности. В частности, у нас есть
который в точности символов из T . Каждая свертка является оператором компактного умножения в этом базисе. Это можно рассматривать как версию обсуждаемой выше теоремы о свертке.
Дискретный пример - конечная циклическая группа порядка n . Операторы свертки здесь представлены циркулянтными матрицами и могут быть диагонализованы с помощью дискретного преобразования Фурье .
Аналогичный результат имеет место для компактных групп (не обязательно абелева): матричные коэффициенты конечномерных унитарных представлений образуют ортогональный базис в L 2 со стороны теоремы Питер-Вейля , и аналог свертки теорема продолжает удерживать, наряду со многими другие аспекты гармонического анализа , зависящие от преобразования Фурье.
Свертка мер
Пусть G - топологическая группа (мультипликативно записанная). Если μ и ν - конечные борелевские меры на G , то их свертка μ ∗ ν определяется как прямая мера действия группы и может быть записана как
для каждого измеримого подмножества Е из G . Свертка также является конечной мерой, полная вариация которой удовлетворяет
В случае , когда G является локально компактным с (лево-) мера Хаара λ, μ и ν и являются абсолютно непрерывна относительно X, так , что каждый из них имеет функцию плотности , то свертка μ * ν также абсолютно непрерывна, и его функция плотности - это просто свертка двух отдельных функций плотности.
Если μ и ν являются вероятностными мерами на топологической группе ( R , +), то свертка μ ∗ ν является распределением вероятностей суммы X + Y двух независимых случайных величин X и Y, чьи соответствующие распределения - μ и ν.
Биалгебры
Пусть ( X , ∆, ∇, ε , η ) - биалгебра с коумножением ∆, умножением ∇, единицей η и счетчиком ε . Свертка - это произведение, определенное на алгебре эндоморфизмов End ( X ) следующим образом. Пусть φ , ψ ∈ End ( X ), т.е. φ , ψ : X → X - функции, которые уважают всю алгебраическую структуру X , тогда свертка φ ∗ ψ определяется как композиция
Свертка особенно заметна в определении алгебр Хопфа ( Kassel 1995 , §III.3). Биалгебра является алгеброй Хопфа тогда и только тогда, когда у нее есть антипод: эндоморфизм S такой, что
Приложения
Свертка и связанные с ней операции используются во многих приложениях в области науки, техники и математики.
- В обработке изображений
- В цифровой обработке изображений сверточная фильтрация играет важную роль во многих важных алгоритмах в обнаружении края и связанных с ним процессы.
- В оптике фотография не в фокусе - это свертка резкого изображения с функцией линзы. Фотографический термин для этого - боке .
- В приложениях для обработки изображений, таких как добавление размытия.
- В цифровой обработке данных
- В аналитической химии , Савицкий-Голея сглаживающие фильтры используются для анализа спектроскопических данных. Они могут улучшить соотношение сигнал / шум с минимальным искажением спектров.
- В статистике взвешенное скользящее среднее - это свертка.
- В акустике , реверберация является сверткой исходного звука с эхо - сигналов от объектов , окружающих источник звука.
- При цифровой обработке сигналов свертка используется для отображения импульсной характеристики реальной комнаты на цифровой аудиосигнал.
- В электронной музыке свертка - это наложение на звук спектральной или ритмической структуры. Часто эта оболочка или структура берется из другого звука. Свертка двух сигналов - это фильтрация одного через другой. [25]
- В электротехнике свертка одной функции ( входного сигнала ) со второй функцией (импульсный отклик) дает на выходе линейную инвариантную во времени систему (LTI). В любой данный момент выходные данные представляют собой совокупный эффект всех предшествующих значений входной функции, причем самые последние значения обычно имеют наибольшее влияние (выраженные в виде мультипликативного коэффициента). Функция импульсной характеристики обеспечивает этот коэффициент как функцию времени, прошедшего с момента появления каждого входного значения.
- В физике везде, где есть линейная система с « принципом суперпозиции », появляется операция свертки. Например, в спектроскопии уширение линии из-за эффекта Доплера само по себе дает гауссову форму спектральной линии, а только столкновительное уширение дает лоренцеву форму линии. Когда действуют оба эффекта, форма линии представляет собой свертку гауссиана и лоренцевой функции Фойгта .
- В флуоресцентной спектроскопии с временным разрешением сигнал возбуждения можно рассматривать как цепочку дельта-импульсов, а измеренная флуоресценция представляет собой сумму экспоненциального затухания каждого дельта-импульса.
- В вычислительной гидродинамики , то крупных вихрей (LES) модель турбулентности использует операцию свертки , чтобы понизить диапазон масштабов длины , необходимых при вычислении , тем самым снижая вычислительные затраты.
- В теории вероятностей , то распределение вероятности суммы двух независимых случайных величин является сверткой их индивидуальных распределений.
- При оценке плотности ядра распределение оценивается по точкам выборки путем свертки с ядром, таким как изотропный гауссиан. [26]
- В системах планирования лечения лучевой терапией большая часть всех современных кодов расчета использует алгоритм свертки-суперпозиции . [ требуется разъяснение ]
- В структурной надежности индекс надежности можно определить на основе теоремы о свертке.
- Определение показателя надежности для функций предельного состояния с ненормальными распределениями может быть установлено в соответствии с совместной функцией распределения . Фактически, совместная функция распределения может быть получена с помощью теории свертки. [27]
- Сверточные нейронные сети используют несколько ядер каскадной свертки с приложениями в области машинного зрения и искусственного интеллекта . [28] [29] Хотя в большинстве случаев это скорее кросс-корреляции , чем свертки. [30]
- В гидродинамике сглаженных частиц моделирование динамики жидкости вычисляется с использованием частиц, каждая из которых имеет окружающие ядра. Для любой данной частицы, какое-то физическое количество рассчитывается как свертка с весовой функцией, где обозначает соседей частицы : те, что находятся в его ядре. Свертка аппроксимируется как суммирование по каждому соседу. [31]
Смотрите также
- Обработка аналогового сигнала
- Циркулянтная матрица
- Свертка для оптических откликов широкого луча в рассеивающих средах
- Мощность свертки
- Деконволюция
- Свертка Дирихле
- Обобщенное усреднение сигнала
- Ян Микусинский
- Список сверток вероятностных распределений
- Теория систем LTI # Импульсная характеристика и свертка
- Многомерная дискретная свертка
- Масштабированная корреляция
- Теорема Титчмарша о свертке
- Матрица Теплица (свертки можно рассматривать как матричную операцию Теплица, где каждая строка является сдвинутой копией ядра свертки)
Заметки
- ^ Причины отражения включают:
- Необходимо реализовать эквивалент поточечного произведения преобразований Фурье функций f и g .
- Когда свертка рассматривается как скользящее средневзвешенное значение , весовая функция g (- x ) часто определяется в терминах другой функции, g ( x ) , называемой импульсной характеристикой линейной системы, не зависящей от времени .
- ^ Символ U + 2217 ∗ ОПЕРАТОР ASTERISK отличается отU + 002A * ASTERISK , который часто используется для обозначения комплексного сопряжения. См. Раздел « Звездочка» § Математическая типографика .
Рекомендации
- ^ https://core.ac.uk/download/pdf/25493611.pdf
- ^ Смит, Стивен W (1997). «13.Свертка» . Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (1-е изд.). Калифорнийское техническое издательство. ISBN 0-9660176-3-3. Проверено 22 апреля 2016 года .
- ^ Ирвин, Дж. Дэвид (1997). «4.3». Справочник по промышленной электронике (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 75. ISBN 0-8493-8343-9.
- ↑ Домингес-Торрес, стр. 2
- ↑ Домингес-Торрес, стр. 4
- ^ RN Bracewell (2005), "Ранние работы по теории построения изображений в радиоастрономии" , в WT Sullivan (ed.), The Early Years of Radio Astronomy: Reflections Fifty Years After Jansky's Discovery , Cambridge University Press, p. 172, ISBN 978-0-521-61602-7
- ^ Джон Хилтон Грейс и Альфред Янг (1903), Алгебра инвариантов , Cambridge University Press, стр. 40
- ^ Леонард Юджин Диксон (1914), Алгебраические инварианты , J. Wiley, p. 85
- ↑ Согласно [Лотар фон Вольферсдорф (2000), «Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen», Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse , том 128–12 , том 6, Volra number 2, v. 1913), "Leçons sur les fonctions de linges". Готье-Виллар, Париж, 1913 год.
- ^ Damelin & Miller 2011 , стр. 219
- ^ Press, William H .; Фланнери, Брайан П .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т. (1989). Числовые рецепты на Паскале . Издательство Кембриджского университета. п. 450 . ISBN 0-521-37516-9.
- ^ Рейдер, CM (декабрь 1972 г.). «Дискретные свертки через преобразования Мерсенна». Транзакции IEEE на компьютерах . 21 (12): 1269–1273. DOI : 10.1109 / TC.1972.223497 .
- ^ Селезник, Иван В .; Буррус, К. Сидней (1999). «Быстрая свертка и фильтрация». В Мадисетти, Виджай К. (ред.). Справочник по цифровой обработке сигналов . CRC Press. п. Раздел 8. ISBN. 978-1-4200-4563-5.
- ^ Хуанг, Б. Х. «Лекция 21: блочная свертка» (PDF) . EECS в Технологическом институте Джорджии . Проверено 17 мая 2013 года .
- ^ Гарднер, Уильям Г. (ноябрь 1994 г.). «Эффективная свертка без задержки ввода / вывода» (PDF) . Конвенция Общества звукорежиссеров 97 . Документ 3897 . Проверено 17 мая 2013 года .
- ^ Бекнер, Уильям (1975). «Неравенства в анализе Фурье». Анналы математики (2) . 102 (1): 159–182. DOI : 10.2307 / 1970980 . JSTOR 1970980 .
- ^ Браскэмп, Херм Ян; Либ, Эллиотт Х. (1976). «Лучшие константы в неравенстве Юнга, его обратном и его обобщении на более чем три функции» . Успехи в математике . 20 (2): 151–173. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (76) 90184-5 .
- ^ Reed & Simon 1975 , IX.4
- ^ Слюсарь В.И. (27 декабря 1996 г.). «Конечные продукты в матрицах в радиолокационных приложениях» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи.– 1998, Вып. 41; Номер 3 : 50–53.
- ^ Слюсарь В.И. (20.05.1997). «Аналитическая модель цифровой антенной решетки на основе матричных продуктов расщепления граней» (PDF) . Proc. ICATT-97, Киев : 108–109.
- ^ Слюсарь В.И. (15.09.1997). «Новые операции матричного продукта для приложений радаров» (PDF) . Proc. Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЭД-97), Львов. : 73–74.
- ^ Слюсарь В.И. (13 марта 1998 г.). «Семейство граней произведений матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ C / C Кибернетика и Системный анализ.- 1999 . 35 (3): 379–384. DOI : 10.1007 / BF02733426 .
- ^ Слюсарь В.И. (2003). «Обобщенные лицевые произведения матриц в моделях цифровых антенных решеток с неодинаковыми каналами» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 46 (10): 9–17.
- ^ Нинь, Фам; Паг, Расмус (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт функций . Международная конференция SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных. Ассоциация вычислительной техники. DOI : 10.1145 / 2487575.2487591 .
- ^ Zölzer, Удо, изд. (2002). DAFX: Цифровые аудиоэффекты, стр. 48–49. ISBN 0471490784 .
- ^ Диггл 1985 .
- ^ Гасей & Новак +2017 .
- ^ Чжан, Инцзе; Вскоре Хонг Геок; Йе, Дунсен; Фух, Джерри Ин Си; Чжу, Кунпэн (сентябрь 2020 г.). «Мониторинг процесса сплавления в порошковой среде с помощью машинного зрения с помощью гибридных сверточных нейронных сетей» . IEEE Transactions по промышленной информатике . 16 (9): 5769–5779. DOI : 10.1109 / TII.2019.2956078 . ISSN 1941-0050 .
- ^ Червяков, Н.И. Ляхов П.А.; Дерябин, М.А. Нагорнов Н.Н. Валуева, М.В. Валуев, Г.В. (сентябрь 2020 г.). «Решение на основе системы счисления остатков для снижения стоимости оборудования сверточной нейронной сети» . Нейрокомпьютеры . 407 : 439–453. DOI : 10.1016 / j.neucom.2020.04.018 .
Сверточные нейронные сети представляют собой архитектуры глубокого обучения, которые в настоящее время используются в широком спектре приложений, включая компьютерное зрение, распознавание речи, анализ временных рядов в финансах и многие другие.
- ^ Атлас, Хомма и знаки. «Искусственная нейронная сеть для пространственно-временных биполярных паттернов: приложение к классификации фонем» (PDF) . Системы обработки нейронной информации (NIPS 1987) . 1 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Монаган, Дж. Дж. (1992). «Гидродинамика сглаженных частиц» . АРА & . 30 : 543–547. Bibcode : 1992ARA & A..30..543M . DOI : 10.1146 / annurev.aa.30.090192.002551 . Проверено 16 февраля 2021 года .
дальнейшее чтение
- Bracewell, R. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw – Hill, ISBN 0-07-116043-4.
- Damelin, S .; Миллер, В. (2011), Математика обработки сигналов , Cambridge University Press, ISBN 978-1107601048
- Диггл, PJ (1985), "Метод ядра для сглаживания данных процесса точки", журнал Королевского статистического общества, серия C , 34 (2): 138-147, DOI : 10,2307 / 2347366 , JSTOR 2347366 , S2CID 116746157
- Домингес-Торрес, Алехандро (2 ноября 2010 г.). «Происхождение и история свертки». 41 стр. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution . Крэнфилд, Бедфорд MK43 OAL, Великобритания. Проверено 13 марта 2013 года.
- Гасеми, С. Хуман; Новак, Анджей С. (2017), «Индекс надежности для ненормальных распределений Предельное государственных функций», Проектирование зданий и сооружений и механики , 62 (3): 365-372, DOI : 10,12989 / sem.2017.62.3.365
- Гриншпан, Аризона (2017), "Неравенство для множества сверток с относительно вероятностной меры Дирихле", Прогресс в области прикладной математики , 82 (1): 102-119, DOI : 10.1016 / j.aam.2016.08.001
- Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1979), Абстрактный гармонический анализ. Vol. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 115 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-09434-0, Руководство по ремонту 0551496.
- Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ. Vol. II: Структура и анализ компактных групп. Анализ на локально компактных абелевых группах , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 152, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0262773.
- Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, Руководство по ремонту 0717035.
- Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Тексты для выпускников по математике, 155 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0783-2 , ISBN 978-0-387-94370-1, Руководство по ремонту 1321145.
- Knuth, Donald (1997), Seminumerical Algorithms (3-е изд.), Reading, Massachusetts: Addison – Wesley, ISBN. 0-201-89684-2.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Анализ Фурье, самосопряженность , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, стр. Xv + 361, ISBN 0-12-585002-6, Руководство по ремонту 0493420
- Рудин, Вальтер (1962), анализ Фурье на группах , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 12 , New York – London: Interscience Publishers, ISBN 0-471-52364-X, MR 0152834.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
- Соболев, В.И. (2001) [1994], "Свертка функций" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
- Титчмарш, E (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Pub. Co. (опубликовано в 1986 г.), ISBN 978-0-8284-0324-5.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Улудаг AM (1998), "О возможном ухудшении гладкости под действием свертки", J. Math. Анальный. Прил. , 227 (2): 335-358, DOI : 10,1006 / jmaa.1998.6091
- von zur Gathen, J .; Герхард, Дж. (2003), Современная компьютерная алгебра , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2.
Внешние ссылки
- Самое раннее использование: статья о свертке содержит некоторую историческую информацию.
- Свертка , Краткое руководство по анализу данных
- http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Java-апплет с визуальной сверткой
- http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Java-апплет с визуальной сверткой для функций с дискретным временем
- https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution онлайн-калькулятор discret-convolution
- https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Демонстрация свертки и визуализация в javascript
- https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Еще одна демонстрация свертки в javascript
- Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекция 7 посвящена двумерной свертке. , Алан Питерс
- * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
- Операция с маской ядра свертки Интерактивное руководство
- Свертка в MathWorld
- Freeverb3 Impulse Response Processor : процессор импульсных откликов с нулевой задержкой и открытым исходным кодом с плагинами VST
- Интерактивная Flash-демонстрация CS 178 Стэнфордского университета, демонстрирующая, как работает пространственная свертка
- Видео лекция по теме свертки дается Салман
- Пример свертки БПФ для распознавания образов (обработка изображений)